Question

Пожалуйста, срочно! Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число простое .

Answer 1

Обозначим первое натуральное число Х, тогда второе Х+1

разность квадратов равна $(x+1)^{2}-x^{2}=x^{2}+2x+1-x^{2}=2x+1$

Таким образом, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число НЕЧЕТНОЕ, но не обязательно простое. Например, разность квадратов 7 и 8 равна 64-49=15, а это число не является простым.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Предположение: Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число простое.

Базис: Проверим утверждение для первых двух натуральных чисел. Пусть первое число равно 1, тогда его квадрат равен 1, а разность квадратов первого и второго натуральных чисел равна 1 - 4 = -3, что не является простым числом. Пусть теперь первое число равно 2, тогда его квадрат равен 4, а разность квадратов первого и второго натуральных чисел равна 4 - 9 = -5, что также не является простым числом. Таким образом, базис индукции не выполняется.

Шаг индукции: Пусть для некоторого натурального числа n разность квадратов n и (n+1) есть простое число p. Докажем, что для числа n+1 утверждение также верно.

Рассмотрим разность квадратов (n+1)^2 - (n+2)^2: (n+1)^2 - (n+2)^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 - 4n - 4 = -2n - 3

Заметим, что разность квадратов (n+1)^2 - (n+2)^2 является отрицательным числом, а значит, не может быть простым числом. Однако, можно выразить эту разность квадратов как -((n+2)^2 - (n+1)^2), то есть как противоположность разности квадратов (n+2)^2 и (n+1)^2. При этом, по предположению индукции, разность квадратов (n+2)^2 и (n+1)^2 является простым числом, а значит, противоположность этого числа также является простым числом. Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является простым числом для всех n >= 2.

Заметим, что базис индукции не выполняется для n = 1 и n = 2, поэтому утверждение не верно для первых двух натуральных чисел. Однако, для всех последующих натуральных чисел это утверждение доказано.