Question

Дан квадрат ABCD. Равносторонние треугольники ABX и BCY построены наружу от него. Докажите,что треугольник DXY равносторонний

Answer 1

Треугольник DXY равносторонний потому что Два угла совпадают если их можно совместить наложением

Answer 2

Для начала, нарисуем изображение этой конструкции:

bashCopy code
           Y
           /\ 
          /  \
         /    \
    B __/______\__ C
      / \      / \
     /   \    /   \
    /_____\  /_____\
   A       X       D

Заметим, что треугольники ABX и BCY равносторонние, поэтому у них все стороны равны. Значит, AB = BX и BC = CY.

Также заметим, что треугольники ABX и BCY равнобедренные, поэтому у них углы при вершине равны. Значит, угол ABD = углу XBC и угол BCD = углу YCB.

Теперь рассмотрим треугольник DXY. Из предыдущих замечаний следует, что:

• Угол BDY = угол XBC = угол ABD (из равнобедренности треугольника BCY и угла ABD = угла XBC).
• Угол BDX = угол YCB = угол BCD (из равнобедренности треугольника ABX и угла BCD = угла YCB).
• Сторона BD равна стороне BC + CY (поскольку треугольники BCY и BCD имеют общую сторону BC).

Таким образом, треугольник DXY удовлетворяет двум условиям равностороннего треугольника:

• Все стороны равны, поскольку BD = BC + CY = AB + CY = AY = XY.
• Все углы равны, поскольку угол BDY = угол ABD и угол BDX = угол BCD.

Следовательно, треугольник DXY равносторонний.