Question

Теорема Фалеса формулировка и доказательство!

Answer 1

Теорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Доказательство. Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3. Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2. Δ C1B2B1 = Δ C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, ∠ C1B2B1 = ∠ C2B2B3, как вертикальные, ∠ B1C1B2 = ∠ = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.

Answer 2

Теорема Фалеса утверждает, что если провести через вершину одного из углов треугольника прямую, параллельную противоположной стороне, то отрезок, находящийся на этой прямой и между двумя другими сторонами треугольника, делит эти стороны в одном и том же отношении.

Формально, пусть дан треугольник ABC, прямая DE, параллельная стороне AB, и точки F и G, где прямая DE пересекает стороны AC и BC соответственно. Тогда отрезок FG делит стороны AC и BC в одном и том же отношении:

AC/AF = BC/BG.

Доказательство: Проведем высоты CH и DK из вершин C и D соответственно на прямую EF. Тогда, так как прямые EF и DE параллельны, то углы CHF и GKD являются соответственными углами, и поэтому они равны между собой.

Также у нас есть две пары подобных треугольников: ACF и HCF, а также BCG и KDG. Это следует из того, что углы CHF и ACF соответственные углы и поэтому равны между собой, и т.д.

Следовательно, мы можем записать отношения сторон в этих треугольниках: AC/AF = HC/HF, BC/BG = KC/KG.

Так как HC = KC (они оба равны высоте треугольника ABC, опущенной на прямую AB), то мы можем записать: AC/AF = KC/KG, или AC/AF = BC/BG.

Таким образом, мы доказали теорему Фалеса.