Question

цифры четырёхзначного числа кратного 9, записали в обратном порядке .из первого вычли второе и получили 909. найти число.

Answer 1

Пусть цифры данного числа х,у,  z,  t
1000x+100y+10z+t-1000t-100z-10y-x=909
999x+90y-90z-999t=909 поделим обе части равенства на 9 и сгруппируем
111(x-t)-10(z-y)=101  Это возможно,  когда x-t=1,    z-y=1
x=t+1,  z=y+1
По условию сумма цифр числа  делится на 9,  т.е. x+y+z+t=9n,   n - некоторое натуральное число
  t+1+y+y+1+t=9n
2(t+y+1)=9n,    значит    n=2,  t+y=8
Переберем все цифры,  сумма которых равна  8,  зная зависимость переменных  z  и    x   от t    и    y  ,  получим набор чисел

x    y    z    t
8    1    2    7
7    2    3    6
6    3    4    5
5    4    5    4
4    5    6    3
3    6    7    2
2    7    8    1
9    0    1    8    
Итого 8 чисел удовлетворяют условию задачи

Answer 2

Пусть искомое число состоит из цифр a, b, c и d, тогда его запись в обратном порядке будет иметь вид 1000d + 100c + 10b + a. Поскольку число кратно 9, сумма его цифр также кратна 9. Значит,

a + b + c + d ≡ 0 (mod 9).

Из условия задачи следует, что

1000d + 100c + 10b + a - (1000a + 100b + 10c + d) = 909.

Упрощая это уравнение, получаем

999d + 90c - 90a - 999b = 909.

Делим обе части на 9:

111d + 10c - 10a - 111b = 101.

Выражаем одну из неизвестных через остальные:

111d = 101 + 111b + 10a - 10c.

Поскольку число является четырехзначным, то его первая цифра d не может быть равна нулю. Значит, d = 1. Тогда

111 = 101 + 111b + 10a - 10c.

Делим обе части на 111:

1 = 1 + b/10 + a/111 - c/11.

Отсюда следует, что b/10 + a/111 - c/11 = 0. Поскольку a, b, c и d являются цифрами числа, то они могут принимать значения от 0 до 9. Подставляя возможные значения для a, b и c, легко проверить, что единственным решением этого уравнения является a = 0, b = 9 и c = 9. Таким образом, искомое число равно 1000d + 100c + 10b + a = 1098.