Question

Существует ли такое число, десятичная запись которого состоит из шести 1 и семи 0, являющееся квадратом целого числа?

Answer 1

Ответ:

нет

Пошаговое объяснение:

Сумма цифр такого числа равна 6*1=6. Значит, по признаку делимости на 3 и на 9, такое число делится на 3, но не делится на 9.

Т.к. в разложение на простые множители квадрата натурального числа каждый сомножитель входит в четной степени, то такого числа не существует.

Answer 2

Да, такое число существует. Рассмотрим число 1100011 в двоичной системе счисления, которое имеет десятичное представление 103. Это число не является квадратом целого числа.

Теперь заметим, что если к числу 1100011 добавить 1000000 (64 в десятичной системе), то получится число 1110011, которое имеет десятичное представление 115. Это число является квадратом целого числа, а именно 10^2 + 5^2 = 115.

Таким образом, число 11000111000000 (6 единиц и 7 нулей) является квадратом целого числа (10000 в двоичной системе счисления, то есть 16 в десятичной системе).