Question

Помогите, пожалуйста, с математикой! Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: y=(x+6)/(x^2+12); [-4;4]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=(x+6)/(x^2+12) на отрезке [-4;4], необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции:

y' = [(x^2+12)(1) - (x+6)(2x)]/(x^2+12)^2 y' = (12 - 2x^2)/(x^2+12)^2

2. Решите уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции:

12 - 2x^2 = 0 x^2 = 6 x = ±√6

3. Определите, находятся ли критические точки внутри отрезка [-4;4]. Поскольку -2,45 < -4 и 2,45 > 4, то критические точки находятся за пределами отрезка [-4;4].

4. Вычислите значения функции в концах отрезка [-4;4]:

y(-4) = ( -4 + 6 ) / ( (-4)^2 + 12 ) = 1 / 4 y(4) = ( 4 + 6 ) / ( 4^2 + 12 ) = 1 / 4

5. Исследуйте поведение функции на отрезке [-4;4]. Очевидно, что знаменатель функции y всегда положительный. Чтобы определить, когда числитель будет положительным, найдем значения x, при которых y(x) = 0:

(x+6)/(x^2+12) = 0 x+6 = 0 x = -6

Получается, что функция меняет знак с отрицательного на положительный при переходе через точку x = -6. Таким образом, функция y(x) убывает при x < -6 и возрастает при x > -6.

6. Определите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4;4].

Так как функция на отрезке [-4;4] является ограниченной и непрерывной, то наибольшее и наименьшее значения достигаются либо в критических точках, либо в концах отрезка.

Так как критические точки находятся за пределами отрезка [-4;4], то наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в концах отрезка и равны соответственно:

Минимум: y(-4) = 1 / 4

Максимум: y(4) = 1 / 4

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции y=(x+6)/(x^2+12) на отрезке [-4;4]