Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!!!!!!!!!!! На жердочке сидят попугаи и канарейки. Может ли между каждыми двумя попугаями сидеть четное количество птиц, а между каждыми двумя канарейками - нечетное.

Answer 1

Ответ:

Не может, если птиц каждого вида больше одной.

Но возможно если допустить, что синица может быть одна.

Пошаговое объяс нение:

"Пронумеруем" подряд сидящих птиц.

Получим последовательность 1, 2, 3, 4....

Допустим, первый встреченный попугай с номером х.

Между ним и следующим попугаем 2n (четное число) птиц.

То есть первый попугай - 2n птиц - след. попугай.

И след. попугай будет иметь номер следующий за числом х+2n:

х+2n+1

Если х - нечетное число, то х+2n+1 - четное число

Если х - четное число, то х+2n+1 - нечетное число

А третий встреченный попугай - через 2m птиц - будет иметь номер

х+2n+2m+2= х+ 2(n+m+1) - число той же четности, что и х.

Но тогда олучаем, что между 3м и 1м попугаем

х+2(n+m+1)- x- 1 = 2m+2n+1 = 2(m+n)+1 птиц. То есть нечетное число птиц

Противоречие условию (должно быть четное число птиц между любыми попугаями)

то есть между 1-м и 3-м попугаем - по любому нечетное число птиц, что противоречит условию. А значит, попугаев не больше двух.

Между двумя попугаями могут быть только синицы. И их - четное число (пусть, 2а синиц). Тогда между первой и последней синицей из этого ряда будет

2а-1-1=2(а-1)

т.е. четное число птиц. (Отмечу, что даже 2 синицы быть не может, ибо между ними 0 птиц, а 0 число четное - кстати, из этого следует что 2 синицы рядом сидеть не могут в принципе)

Значит между попугаями синиц быть не может. Двух синиц подряд быть тоже не может (см выше).

Получается, попугаи расположены рядом друг с другом. А синичка может быть максимум одна - перед ними или после них, ибо расположение "Син - Поп - Поп - Син" тоже противоречит условию.

Если предположить, что в условии говорится о синицАХ (больше одной) - то размещение согласно условию задачи - невозможно.

Если синичка может быть одна - возможны 2 размещения (где одно является зеркальным отражением другого):

1)Син Поп Поп

Или

2)Поп Поп Син

Answer 2

Предположим, что между каждыми двумя попугаями сидит четное количество птиц, а между каждыми двумя канарейками - нечетное. Пусть на жердочке всего $n$ птиц, из них $p$ - попугаи, а $(n-p)$ - канарейки.

Между каждыми двумя попугаями сидит четное количество птиц, значит количество попугаев должно быть нечетным (иначе число птиц не будет четным). Аналогично, между каждыми двумя канарейками сидит нечетное количество птиц, значит количество канареек тоже должно быть нечетным.

Получаем систему уравнений:

$p \equiv 1 \pmod{2}$ $(n-p) \equiv 1 \pmod{2}$

Первое уравнение эквивалентно $p=2k+1$, где $k$ - некоторое целое число. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(n-(2k+1)) \equiv 1 \pmod{2}$ $n-2k-1 \equiv 1 \pmod{2}$ $n \equiv 2k+2 \equiv 0 \pmod{2}$

Получили противоречие: $n$ должно быть четным (так как между каждыми двумя птицами сидит четное количество других птиц), но мы получили, что $n$ должно быть нечетным.

Значит, предположение неверно, и нельзя так расставить птиц на жердочке, чтобы между каждыми двумя попугаями сидело четное количество птиц, а между каждыми двумя канарейками - нечетное.