Question

Задача на теорию вероятности. Студенту задается 3 вопроса. Вероятность ответа на каждый из них составляет 0,9. Записать закон распределения случайной величины Х – числа ответов студента. Составить функцию распределения F(x) и изобразить ее график. Вычислить М(Х), Д(Х), σх.

Answer 1

Найдем для начала ряд распределения случайной величины X
Вычислим для  $k=0,...,3$ вероятности ответов на вопрос согласно формуле Бернулли

$P_3(k=0)=C^0_3p^0(1-p)^{3-0}=(1-p)^3=(1-0.9)^3=0.1^3=0.001;\\P_3(k=1)=C^1_3p^1(1-p)^{3-1}=3p(1-p)^2=3\cdot0.9\cdot(1-0.9)^2=0.027 \\ P_3(k=2)=C^2_3p^2(1-p)^{3-2}=3p^2(1-p)=3\cdot 0.9^2\cdot(1-0.9)=0.243 \\ P_3(k=3)=C^3_3p^3(1-p)^{3-3}=p^3=0.9^3=0.729$


Функция распределения:    $F(X)=\begin{cases} & \text{ } 0,~~~~~~~ x \leq 0\\ & \text{ } 0.001,~~~0\ \textless \ x \leq 1 \\ & \text{ } 0.028,~~~ 1\ \textless \ x \leq 2\\ & \text{ } 0.271,~~~ 2\ \textless \ x \leq 3 \\ & \text{ } 1,~~~~~~~x\ \textgreater \ 3 \end{cases}$


Математическое ожидание:   $M(X)=np=3\cdot 0.9=2.7$
Дисперсия:   $D(X)=np(1-p)=3\cdot0.9\cdot0.1=0.27$
Среднее квадратическое отклонение:  $\sigma(X)= \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.27} =0.3 \sqrt{3}$

Answer 2

Закон распределения случайной величины X - число ответов студента, можно представить в виде биномиального распределения, так как каждый вопрос имеет только два возможных исхода - правильный или неправильный, и вероятность правильного ответа для каждого вопроса одинакова и равна 0,9. Тогда вероятность того, что студент даст x правильных ответов из 3 вопросов, вычисляется по формуле биномиального распределения:

P(X = x) = C(3, x) * (0,9)^x * (0,1)^(3-x), где С(3,x) - число сочетаний из 3 по x.

Таблица вероятностей:

X	0	1	2	3
P(X)	0.001	0.027	0.243	0.729

Функция распределения F(x) - это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное x. Тогда:

F(x) = P(X ≤ x) = Σ P(X = k) для k от 0 до x.

Таблица значений функции распределения:

X	0	1	2	3
F(x)	0.001	0.028	0.271	1

График функции распределения:

markdownCopy code
        1.0|     x
           |    xxx
           |   xxxxx
           |   xxxxxxx
           |  xxxxxxxxx
           | xxxxxxxxxxx
           |xxxxxxxxxxxxx
        0.0|____________
             0  1  2  3

Математическое ожидание M(X) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

M(X) = n * p, где n - число испытаний, а p - вероятность успеха в каждом испытании.

В данном случае n = 3, p = 0,9, поэтому:

M(X) = 3 * 0,9 = 2,7.

Дисперсия D(X) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

D(X) = n * p * (1 - p).

В данном случае:

D(X) = 3 * 0,9 * 0,1 = 0,27.

Стандартное отклонение σ(X) равно квадратному корню из дисперсии:

σ(X) = √(0,27) = 0,52 (округляем до двух знаков после запятой).