Question

Решите пожалуйста дифференциальное уравнение: y'=(y/x)+x/(x-y) , заранее благодарен

Answer 1

y' = (y/x) + x/(x-y)

y = z + x --> z' + 1 = (z/x) + 1 - (x/z)

z' = (z/x) - (x/z)

z = wx --> w'x + w = w - 1/w

w'x = -1/w

w'w = -1/x

w^2 / 2 = C/2 - ln|x|

w = +- √( C - 2ln|x| )

z = wx = +- x √( C - 2ln|x| )

y = z + x = x +- x √( C - 2ln|x| )

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными, но можно привести его к более удобному виду для решения.

y' = y/x + x/(x-y)

Выразим x из второго слагаемого:

x/(x-y) = -1 + y/(x-y)

Подставим это выражение в исходное уравнение:

y' = y/x -1 + y/(x-y)

y' - y/(x-y) = y/x -1

Обозначим z = x - y, тогда x = z + y и y' = z' + y'. Подставим это в уравнение и разделим обе части на z:

z'/(z+y) = (y/x - 1)/z

Теперь мы получили уравнение, которое можно решить методом разделения переменных:

z'/(z+y) = (y/x - 1)/z

z'/z = (y/x - 1)/(z+y)

z'/(z+y) + y/(x(z+y)) = 1/x

Сделаем замену переменных: u = z + y, v = z - y. Тогда z = (u-v)/2, y = (u+v)/2, z' = u' - v' и y' = u' + v'. Подставим эти выражения в уравнение:

(u'-v')/(u/2 + v/2 + y) + (u'+v')/(x(u/2 + v/2 + y)) = 1/x

2(u'/(u+y) + v'/(u-y)) + 2y/(x(u+y)) = 1/x

(u'/(u+y) + v'/(u-y)) + y/(x(u+y)) = 1/2x

Теперь у нас есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части на u:

u'/(u+y) + v'/(u-y) = 1/(2xu) - y/(ux(u+y))

Обе части уравнения зависят от разных переменных: левая - от u и v, а правая - только от x и y. Можно сделать замену переменных, чтобы упростить правую часть:

u = xy, u+y = xy + y = y(x+1)

Тогда уравнение примет вид:

u'/(y(x+1)) + v'/(y(x-1)) = 1/(2x^2)

Обе части уравнения зависят только от одной переменной, поэтому мы можем решить его методом разделения переменных:

y(x+1)u'/(y(x+1)) + y(x-1)v'/(y(x-1)) = y(x+1)v'/(y(x+1)) + y(x-1)u'/(y(x-1)) = u'/x + v'/(2x^2)

y(x+1)v'/(y(x+1)) - y(x-1)u'/(y(x-1)) = v'/(