Question

Одна из двух параллельных прямых пересекает стороны AB и BC параллелограмма ABCD в точках K и L, а другая − стороны CD и AD в точках M и N соответственно. Найти отношение DM : MC, если AK : KB = 1 : 2, BL : LC = 2 : 3 и AN : ND = 4 : 1.

Answer 1

Это очень легко просто очень

Answer 2

Обозначим отрезки AK, KB и BL, LC через a, 2a и 3b, 2b соответственно, так как AK : KB = 1 : 2 и BL : LC = 2 : 3. Также обозначим отрезки AN и ND через 4c и c соответственно, так как AN : ND = 4 : 1.

Так как прямые KN и LM параллельны, то треугольники AKM и BLC подобны друг другу с коэффициентом 2 : 3, и треугольники KDN и LCM также подобны друг другу с коэффициентом 4 : 1.

Из подобия треугольников AKM и BLC следует, что

KM/LC = AM/BL = AN/(BL + LC) = 4c/(2b + 3b) = 4c/5b.

Также из подобия треугольников KDN и LCM следует, что

DM/LC = DN/KL = (AN + ND)/(AK + KB + BL) = 5c/(a + 2a + 3b) = 5c/(3a + 3b) = 5c/3(a + b).

Теперь нам нужно выразить отношение DM/MC. Заметим, что

DM/MC = (DM/LC)/(MC/LC) = (5c/3(a + b)) / (KM/LC) = (5c/3(a + b)) / (4c/5b) = (25b)/(3(a + b)).

Таким образом, мы нашли, что DM : MC = 25b : 3(a + b). Теперь нужно выразить b через a и c. Заметим, что

b = LC/5 = (BL + LC)/5 = (2b + 3b)/5 = 5b/5 = b,

так что b не зависит от a и c. Таким образом, мы можем записать

DM : MC = 25b : 3(a + b) = 25 : 3(1 + b/a).

Нам дано, что AN : ND = 4 : 1, так что c = ND/(4 + 1) = ND/5. Из подобия треугольников AKM и BLC мы знаем, что AM = 2AK = 2a, BL = 2LC/3 = 4b/3 и LC = 2b/3. Тогда KM = AM - AK = 2a - a = a, и мы можем записать

a + b = KM + LC = a + 2b/3.

Отсюда следует, что b/a = 1/3, так что

DM : MC = 25 : 3(1 + b/a) = 25 : 4.

Таким образом, мы получили, что отношение DM : MC равно 25 : 4.