Question

Найдите площадь криволинейной трапеции отграниченной линиями y=x^2+1, y=2, y=17, x=0

Answer 1

Ответ:

y=2x;    y=x-2;  x=4

Найдем пределы интегрирования;

2x=x-2;   x=-2;

    4                   4                                 4

S=∫(2x-(x-2))dx=∫(x+2)dx=(x^2 /2 +2x) |=16/2+2-4/2-2*(-2)=8+2-2+4=12

  -2                   -2                                -2

Ответ. 12

Answer 2

Для решения этой задачи мы должны сначала нарисовать график функции y=x^2+1 и области, ограниченной линиями y=2, y=17 и x=0.

<img src="https://i.imgur.com/rpFwMdm.png" width="400">

Затем мы видим, что криволинейная трапеция имеет две прямые стороны (y=2 и y=17) и две кривые стороны (y=x^2+1 и x=0). Чтобы найти площадь, мы можем разбить область на две фигуры: прямоугольник и криволинейный треугольник.

Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину на ширину:

площадь прямоугольника = (17-2) * 0 = 0

Площадь криволинейного треугольника можно найти, найдя разность между площадью под кривой y=x^2+1 и площадью под прямой y=2 в пределах x=0 и x=√16=4:

площадь криволинейного треугольника = ∫[0,4] (x^2+1-2) dx = ∫[0,4] (x^2-1) dx = [(x^3/3)-x] [0,4] = (64/3)-4

Итак, общая площадь криволинейной трапеции равна сумме площади прямоугольника и площади криволинейного треугольника:

площадь криволинейной трапеции = 0 + (64/3)-4 = 52/3 ≈ 17.33

Ответ: площадь криволинейной трапеции равна примерно 17.33.