Question

Вычислите площадь фигуры ограничееной графиком функции y= -x^2-x+2 и прямой y=0

Answer 1

Y=-x²-x+2, y=0. S=?
1. y=-x²-x+2 - квадратичная функция, график парабола, ветви вниз(a=-1, -1<0)
y=0 - линейная функция, k=0, график прямая ||Ox
2. границы интегрирования (решить уравнение y₁=y₂): -x²-x+2=0
D=(-1)²-4*(-1)*2=9. x₁=-2. x₂=1.
a=-2 b=1
3. подынтегральная функция: f(x)=-x²-x+2
4. 
$S= \int\limits^1_b {(-x^{2}-x+2)} \, dx =(- \frac{x^{3} }{3}- \frac{x^{2}}{2}+2x)|_{-2}^{1}=$

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} +2- \frac{8}{3} +2+4=4,5$
S=4,5 ед.кв

Answer 2

Для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью X, необходимо интегрировать функцию по X на заданном интервале.

Первым шагом необходимо найти точки пересечения графика функции с осью X. Для этого, мы должны решить уравнение:

-y = x^2 - x + 2

0 = x^2 - x + 2 + y

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

D = (-1)^2 - 41(2+y)

D = 1 - 8 - 4y

D = -7 - 4y

Если D > 0, то уравнение имеет два корня, и график функции пересекает ось X в двух точках. Если D = 0, то уравнение имеет один корень и график функции касается оси X. Если D < 0, то уравнение не имеет корней, и график функции не пересекает ось X.

Рассмотрим каждый случай:

D > 0:

x1,2 = (1 ± sqrt(-7 - 4y)) / 2

Для того, чтобы найти точки пересечения с осью X, мы должны приравнять y к 0:

0 = x^2 - x + 2

x1,2 = (1 ± sqrt(1-8))/2 = (1 ± sqrt(7))/2

D = -7 - 4(0) = -7 < 0

Таким образом, график функции не пересекает ось X.

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью X, мы должны проинтегрировать функцию по X на интервале от x = (1 - sqrt(7))/2 до x = (1 + sqrt(7))/2.

S = ∫[(1-sqrt(7))/2]^[(1+sqrt(7))/2](-x^2 - x + 2)dx

S = [-1/3x^3 - 1/2x^2 + 2x]^{(1+sqrt(7))/2}_{(1-sqrt(7))/2}

S = [-1/3((1+sqrt(7))/2)^3 - 1/2((1+sqrt(7))/2)^2 + 2((1+sqrt(7))/2)] - [-1/3((1-sqrt(7))/2)^3 - 1/2((1-sqrt(7))/2)^2 + 2((1-sqrt(7))/2)]

S = (2sqrt(7) + 22) / 3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -x^2 - x + 2 и осью X, равна (2sqrt(7) + 22) / 3.