Question

Вагонетку с детьми поднимают на вершину первой возвышенности высотой м H=55 м и отпускают без начальной скорости. Она начинает скользить по рельсам, после чего поднимается на вторую возвышенность, вершина которой находится на высоте м h=32 м, а её верхняя часть AB является дугой окружности, лежащей в вертикальной плоскости. При каком наибольшем значении радиуса этой окружности дети не будут чувствовать под собой кресла вагонетки, оказавшись на вершине второй возвышенности? Ответ выразить в м м, округлив до целых. Трением в системе пренебречь.

Answer 1

То есть, должно получиться состояние невесомости. Вес равен: P = m(g - a).

Из условия P = 0 следует a = g. a = v^2/R = g. Поэтому R = v^2/g.

Скорость v найдем из закона сохранения механической энергии: mv^2/2 = mg*Delta_h. v^2 = 2g*Delta_h.

Поэтому R = 2*Delta_h = 2*(78 - 60) = 36 м.

Answer 2

Для того чтобы дети не ощущали под собой кресла вагонетки на вершине второй возвышенности, необходимо, чтобы центр масс вагонетки находился точно на высоте вершины второй возвышенности.

Поскольку трение в системе пренебрежимо мало, то потенциальная энергия вагонетки на вершине первой возвышенности превратится полностью в кинетическую энергию на вершине второй возвышенности:

mgh = (1/2)mv^2,

где m - масса вагонетки с детьми, g - ускорение свободного падения, h - высота первой возвышенности, v - скорость вагонетки на вершине второй возвышенности.

Масса m сократится, и мы получим:

v = sqrt(2gh),

где sqrt - корень квадратный.

Таким образом, мы получили выражение для скорости вагонетки на вершине второй возвышенности.

Далее, чтобы центр масс вагонетки находился точно на высоте вершины второй возвышенности, радиус окружности должен быть таким, чтобы точка A лежала на одной высоте с вершиной второй возвышенности. То есть, мы должны найти радиус окружности, при котором дуга AB равна разности высот первой и второй возвышенностей:

AB = H - h = 55 м - 32 м = 23 м.

Дуга AB представляет собой дугу окружности, чей радиус равен r, а длина дуги AB равна:

AB = r * theta,

где theta - центральный угол, соответствующий дуге AB.

Таким образом, мы можем выразить радиус окружности через длину дуги и центральный угол:

r = AB / theta.

Чтобы найти центральный угол, мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника, образованного радиусом, хордой AB и сегментом между AB и центром окружности:

cos(theta/2) = (r^2 + AB^2/4 - h^2/4) / (2r * AB/2),

cos(theta/2) = (r^2 + 23^2/4 - 32^2/4) / (2r * 23/2),

cos(theta/2) = (r^2 + 529/4 - 256/4) / (23r),

cos(theta/2) = (r^2