Question

20 человек, каждый из которых рыцарь или лжец, встали в круг, после чего двое из них сказали, что "Оба моих соседа - лжецы", остальные же заявили, что "Оба моих соседа - рыцари". Сколько рыцарей может быть среди всех? (В ответе запишите сумму возможных значений).

Answer 1

20:2=10...............

Answer 2

Пусть A и B - те два человека, которые заявили, что "Оба моих соседа - лжецы". По определению лжеца, оба соседа каждого из них должны быть рыцарями. Значит, их два соседа - это рыцари, а значит A и B - лжецы.

Теперь рассмотрим оставшиеся 18 человек в кругу. Если мы предположим, что все они рыцари, то каждый из них говорит правду, и каждый из них имеет двух рыцарей соседей. Но по условию задачи два человека заявили, что их соседи лжецы, что противоречит нашему предположению, что все они рыцари.

Значит, среди 18 человек должен быть хотя бы один лжец. Предположим, что среди этих 18 человек есть k лжецов (где k может быть от 1 до 18). Тогда каждый рыцарь из оставшихся 18 человек имеет двух рыцарей соседей, а каждый лжец имеет двух рыцарей и двух лжецов соседей. Поскольку в кругу всего 20 человек, то каждый человек имеет ровно двух соседей.

Таким образом, если среди 18 человек есть k лжецов, то среди этих 18 человек будет 18 - k рыцарей. Из двух человек, которые заявили, что их соседи лжецы, один лжец (A или B) уже известен. Значит, другой лжец должен находиться рядом с ним. Это означает, что среди k лжецов есть один парный лжец. Количество способов выбрать этот парный лжец равно k.

Таким образом, сумма возможных значений числа рыцарей равна:

(18 - 1) + (18 - 2) + ... + (18 - 18) = 1 + 2 + ... + 17 = 153.

Ответ: 153.