Question

Точки K и L лежат на прямых PN и PM, пересекающих плоскость альфа в точках N и M; NM=60, PK/KN=PL/LM=2/3. Найдите расстояние между точками K и L

Answer 1

ΔNPM подобен ΔKPL  по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Коэффициент пропорциональности k=2/5

KL/NM=2/5

KL/60=2/5

KL = 2*60/5 = 24

Answer 2

Обозначим расстояние между точками K и L через d.

Поскольку PK/KN=2/3, то можно записать:

PK = (2/5)PN KN = (3/5)PN

Аналогично, из PL/LM=2/3 следует:

PL = (2/5)PM LM = (3/5)PM

Теперь можно выразить расстояние NM через PK и PL:

NM = PN + PM = (5/2)PK + (5/2)PL = (5/2)(PK + PL)

Откуда:

PK + PL = (2/5)NM

Теперь выразим расстояние KL через PK и PL:

d^2 = PK^2 + PL^2 - 2PKPL*cos(KPL)

где KPL - угол между векторами PK и PL.

Из треугольника PKL можно получить:

cos(KPL) = PK*PL/(d^2)

Подставляя выражения для PK и PL, получим:

cos(KPL) = (4/25)(PN*PM)/(d^2)

Используя формулу для произведения длин векторов через координаты, можно записать:

PNPM = NM^2 - (MN - NP)(NM - MP)

Подставляя известные значения, получим:

PNPM = 60^2 - (60 - PN)(60 - PM)

Теперь можно выразить cos(KPL) через известные значения:

cos(KPL) = (4/25)((60^2 - (60 - PN)*(60 - PM))/d^2)

Таким образом, расстояние между точками K и L можно выразить как:

d^2 = PK^2 + PL^2 - (8/25)(60^2 - (60 - PN)*(60 - PM))

Подставляя выражения для PK и PL, получим:

d^2 = (4/25)(PN^2 + PM^2) - (8/25)(60^2 - (60 - PN)*(60 - PM))

Теперь нужно найти значения PN и PM. Для этого рассмотрим треугольник PNM. Известно, что NM=60. Пусть угол MNP равен x. Тогда угол PNM равен 180-2x, так как треугольник PNM является прямоугольным. Используя теорему синусов, можно записать:

PN/sin(x) = 60/sin(180-2x) = 60/sin(2x)

Откуда:

PN = (60*sin(x))/sin(2x)

Аналогично:

PM = (60*sin(x))/sin(2x-180)

Подставляя значения PN и PM в выражение для d^2, получим:

d^2 = (16/25)((sin(x)/sin(2x))^2 + (sin(x)/sin(2x-180))^2) - (8/25)(60^2 - 60*sin(x)*sin(x-60))

Т