Question

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=24 , а высота CH,опущенная на гипотенузу ,равна 6 корней из 15. Найдите синус ABC

Answer 1

Получаются подобные треугольники 
ΔАВС подобен ΔСАН по трём углам соответственно
1) <АСВ = <СНА = 90° по условию
2) <ВАС = <САН - общий
3) <АВС = <АСН как равные разности при равных вычитаемых
 90° - <ВАС = 90° - <САН
Из равенства углов <АВС =  <АСН следует, что синусы их тоже равны
Найдём sin<АСН из ΔАСН
sin <АСН = АН/АС
АС = 24  - по условию
По теореме Пифагора  найдём АН
АН² + СН² = АС²
АН² = АС² - СН²
АН² =24² - (6√15)² = 576 - 540 = 36
АН = √36 = 6
sin <СВН = 6/24 = 1/4 = 0,25
sin<АВС = sin <СВН = 0,25
Ответ: sin <АВС =0,25

Answer 2

Начнем с вычисления длины гипотенузы треугольника ABC. Обозначим длину гипотенузы через BC. Так как треугольник ABC является прямоугольным, то по теореме Пифагора:

BC^2 = AC^2 + AB^2

Так как катет AC равен 24, то:

BC^2 = 24^2 + AB^2

Далее, выразим высоту CH через стороны треугольника ABC. Обозначим угол между сторонами AC и BC через угол C, тогда:

sin(C) = CH / BC

Так как CH = 6 * sqrt(15), то:

sin(C) = 6 * sqrt(15) / BC

Теперь, найдем синус угла ABC. Обозначим угол ABC через угол A, тогда:

sin(A) = AB / BC

Так как мы уже выразили BC через AB и AC, то можем записать:

sin(A) = AB / sqrt(24^2 + AB^2)

Чтобы найти AB, воспользуемся тем, что площадь треугольника ABC равна:

S = (AC * CH) / 2 = 72 * sqrt(15) / 5

С другой стороны, площадь треугольника ABC равна:

S = (AB * BC) / 2 = (AB * sqrt(24^2 + AB^2)) / 2

Таким образом, мы получаем уравнение:

(AB * sqrt(24^2 + AB^2)) / 2 = 72 * sqrt(15) / 5

Решая это уравнение, получаем:

AB = 24 / sqrt(5)

Теперь, подставляя найденные значения в формулу для синуса угла ABC, получаем:

sin(ABC) = AB / BC = (24 / sqrt(5)) / sqrt(24^2 + (24 / sqrt(5))^2) = 3 / 5

Ответ: sin(ABC) = 3 / 5.