Question

Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює 6 см. Знайти гіпотенузу цього трикутника

Answer 1

Ответ:

12 см.

т.к. центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи, тому 6+6= 12см.

Answer 2

Задача полягає в тому, щоб знайти гіпотенузу прямокутного трикутника за допомогою радіуса описаного навколо нього кола. Ми можемо використовувати відому формулу, що пов'язує радіус описаного навколо трикутника кола та довжини його сторін:

$r = \frac{abc}{2\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}$

де $a$, $b$ та $c$ - довжини сторін трикутника.

Для прямокутного трикутника гіпотенуза $c$ відома за теоремою Піфагора:

$c = \sqrt{a^2+b^2}$

де $a$ та $b$ - довжини катетів.

Ми не знаємо довжини катетів, але можемо використати те, що вони утворюють прямий кут, тобто $a^2 + b^2 = c^2$.

Тепер ми можемо підставити вираз для $c$ в формулу для радіуса кола:

$r = \frac{abc}{2\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}} = \frac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{2\sqrt{(a+b+\sqrt{a^2+b^2})(2b)(2a)(2b)}}$

Спростивши вираз, отримаємо:

$r = \frac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{4\sqrt{2}ab} = \frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}}{4}$

Тепер можемо знайти гіпотенузу, використовуючи теорему Піфагора:

$c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\frac{2r^2}{2}} = \sqrt{\frac{2\cdot6^2}{2}} = \sqrt{36} = 6\sqrt{2}$

Отже, гіпотенуза цього прямокутного трикутника дорівнює $6\sqrt{2}$ см.