Question

Острый угол прямоугольного треугольника с гипотенузой c равен а(альфа). Докажите, что высота, проведённая к гипотенузе, равна сsinacosa

Answer 1

Мне кажется что это так.

Answer 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC = α, BC – гипотенуза, AB и AC – катеты. Пусть H – точка на гипотенузе BC, в которой проведена высота из вершины A.

Так как высота AH является перпендикуляром к основанию BC, то треугольник ABH и треугольник ACH подобны прямоугольному треугольнику ABC, и их соответственные стороны пропорциональны:

AB/BC = AH/AB

AC/BC = CH/AC

Домножим обе части первого уравнения на AB, а обе части второго уравнения на AC:

AB^2/BC = AH

AC^2/BC = CH

Заменим BC на гипотенузу c, а AB и AC на соответствующие им тригонометрические функции:

AH = c*cos(α)*sin(α)

CH = c*sin(α)*cos(α)

Таким образом, мы получили, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна c*cos(α)*sin(α), что и требовалось доказать.