Question

Исследовать функцию y=(x^3-1)/(4x^2) Помогите пожалуйста

Answer 1

ДАНО: F= (x³+4)/x²

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) -  x²≠ 0 - разрыв при Х =0.

Х∈(-∞;0)∪(0;+∞).  

2. Вертикальная  асимптота  - Х = 0.  

3. Поведение в точке разрыва.

limF(o-) = - ∞,  limF(o+) = - ∞

4. Нули функции - пересечение с осью Х.  

x³-1  = 0  при х = 1.  

5. Пересечение с осью У – нет – функция не существует.

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна:  Х∈(-∞;0)∪(0;-1). Положительна: Х∈(1;+∞).

7. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).    

Y(x) =   (x -1/x²)/4 = x. (Разделили на х² - степень знаменателя)

Y(x) = 1/4* x - уравнение наклонной асимптоты .

8. Исследование на чётность.

Y(-x) = (-x³-1)/(4*x²) ≠ - Y(x). Y(-x) = -(-x³+4)/x² ≠ - Y(-x).  

Думаем:  в формуле и чётные степени и нечётные - вывод:

Функция ни чётная ни нечётная.  

9. Поиск экстремумов - в корнях первой производной

Запишем функцию в виде произведения:  Y(x) = (x³+1) * (4*x²)⁻¹.  

Y’(x) = 1/4 + 1/(2*x³) = 0 , упрощаем: 2*x³= -4,  x=∛(-2),  x≈ -1.26 - решение.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум  – Хmax = y(∛-2) = -3/(4*∛2)  ≈ - 0,47. Минимума – нет.

11. Интервалы монотонности.  

Возрастает: X∈(-∞;Xmax)∪(0;+∞), убывает - Х∈(Xmax;0)  

12. Вторая производная - Y"(x) = -3/(2*x⁴) = 0.  

13. Точек перегиба - нет (Только в точке разрыва - Х =0)

Выпуклая – «горка» Х∈(-∞;-0)∪(0;+∞).  

14. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞)  

15. График в приложении

Answer 2

Для начала, мы можем провести анализ функции y=(x^3-1)/(4x^2), включая ее определение области определения, асимптот, экстремумов и периодов.

Определение области определения:

Знаменатель функции не может быть равен нулю, поэтому область определения y=(x^3-1)/(4x^2) состоит из всех x, кроме x=0.

Другими словами, область определения функции y=(x^3-1)/(4x^2) равна множеству всех действительных чисел x, кроме x=0.

Асимптоты:

Функция y=(x^3-1)/(4x^2) не имеет вертикальных асимптот, поскольку она определена на всей числовой оси за исключением x=0.

Для нахождения горизонтальных асимптот можно провести анализ поведения функции при x, стремящемся к бесконечности или минус бесконечности.

Расчет горизонтальных асимптот:

lim_(x->+∞) ((x^3-1)/(4x^2)) = lim_(x->+∞) ((x^3/x^2-1/x^2)/4) = lim_(x->+∞) ((x-1/x^2)/4) = +∞

lim_(x->-∞) ((x^3-1)/(4x^2)) = lim_(x->-∞) ((x^3/x^2-1/x^2)/4) = lim_(x->-∞) ((x-1/x^2)/4) = -∞

Таким образом, у функции y=(x^3-1)/(4x^2) нет горизонтальных асимптот.

Экстремумы:

Для нахождения экстремумов функции y=(x^3-1)/(4x^2), можно использовать первую производную и проверять ее знак на различных интервалах.

y' = [(12x^2)(4x^2) - (2x)(x^3-1)] / (16x^4) y' = (48x^4 - 2x^4 + 2x) / (16x^4) y' = (46x^4 + 2x) / (16x^4)

Установим равенство y'=0, чтобы найти точки экстремума:

(46x^4 + 2x) / (16x^4) = 0

46x^4 + 2x = 0

2x(23x^3 + 1) = 0

x=0 или x = -1/∛23

Точка x=0 не является точкой экстремума, так как не изменяет знак производной. Точка x=-1/