Question

Докажите равенство (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^16+2^16)=0.2(3^32-2^32)

Answer 1

$...=\dfrac{(3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}=\\ \\ \\ =\dfrac{(3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{9-4}=\dfrac{(3^8-2^8)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{5}=\\ \\ \\ =\dfrac{(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})}{5}=\dfrac{3^{32}-2^{32}}{5}=0.2(3^{32}-2^{32})$

Каждый раз применяли формулу разность квадратов.

Answer 2

(3²+2²)(3⁴+2⁴)(3⁸+2⁸)(3¹⁶+2¹⁶)=0.2(3³²-2³²)

домножим и разделим левую часть на сопряженную первому множителю выражение,  именно на (3²-2²)=9-4=5произведение превых двух (3²-2²)(3²+2²)=3⁴-2⁴, полученный результат умножим на (3⁴+2⁴), получим (3⁴-2⁴)(3⁴+2⁴)=(3⁸-2⁸). умножим его на след. скобку (3⁸+2⁸), получим (3¹⁶-2¹⁶), умножим его на (3¹⁶+2¹⁶), получим (3³²-2³²)

Окончательно слева получится  (3³²-2³²) /5=0.2* (3³²-2³²) , а это и есть правая часть. Равенство доказано.

Answer 3

Мы можем решить это равенство, используя формулу разности квадратов, которая гласит:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Сначала применим формулу разности квадратов к каждому множителю в правой части равенства:

3^32 - 2^32 = (3^16 + 2^16)(3^16 - 2^16)

Затем мы можем применить формулу разности квадратов еще раз к правой части этого выражения:

3^32 - 2^32 = (3^16 + 2^16)(3^8 + 2^8)(3^8 - 2^8)

Мы можем продолжать этот процесс, применяя формулу разности квадратов к каждому множителю, пока не дойдем до:

3^32 - 2^32 = (3^16 + 2^16)(3^8 + 2^8)(3^4 + 2^4)(3^2 + 2^2)(3 + 2)(3 - 2)

Теперь мы можем подставить это выражение в левую часть и правую часть исходного равенства:

(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^16 + 2^16) = 0.2(3^32 - 2^32) (3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^16 + 2^16) = (3^16 + 2^16)(3^8 + 2^8)(3^4 + 2^4)(3^2 + 2^2)(3 + 2)(3 - 2)

Заметим, что обе части равенства имеют общий множитель (3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^16 + 2^16). Если мы разделим обе части на этот множитель, мы получим:

1 = 0.2(3 + 2)(3 - 2)

1 = 1

Таким образом, мы показали, что исходное равенство действительно верно.