Question

Один катет прямоугольного треугольника равен 2 см, а проекция второго катета на гипотенузу равна 3 см. Найти второй катет и гипотенузу.

Answer 1

Обозначим a, b - катеты x,y - их проекции c - гипотенуза
a=2, у=3
c=х+у=х+3
по формуле проекции катета на гипотенузу
a²=х*c   b²=yc
2²=х(х+3)
х²+3х-4=0
d=9+16=25
x=(-3+5)/2=1 второй отрицательный корень в расчет не берем
с=х+у=1+3=4
b²=yc=3*4=12
b=√12=2√3
ответ b=2√3;  c=4

Answer 2

Обозначим неизвестный катет через x, а гипотенузу через h. Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора:

Copy code
h^2 = x^2 + 2^2 

Заметим, что проекция второго катета на гипотенузу образует с гипотенузой и этим катетом подобный прямоугольный треугольник. Тогда, по определению подобия, отношение длины проекции ко второму катету равно отношению длины гипотенузы к этому катету:

Copy code
3 / x = h / 2

Теперь можно выразить гипотенузу h из второго уравнения и подставить это выражение в первое уравнение:

makefileCopy code
h = (3x) / 2
(3x/2)^2 = x^2 + 2^2
9x^2/4 = x^2 + 4
8x^2/4 = 4
x^2 = 2
x = √2

Таким образом, второй катет равен √2 см, а гипотенуза равна 3√2 см.