Question

1. Координаты точки Н пересечения высоты DH и плоскости АВС если А(2:4:3:) В(1:1:5) С(1:2:-2) D(1:2:-6

Answer 1

Ответ 4. Правило учи!

Answer 2

Для начала, найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С. Для этого можно воспользоваться формулой для общего уравнения плоскости:

mathematicaCopy code
Ax + By + Cz + D = 0

где A, B, C - коэффициенты плоскости, а x, y, z - координаты произвольной точки на плоскости. D можно определить из условия прохождения плоскости через точки А, В и С.

Подставляя координаты точек, получим систему уравнений:

mathematicaCopy code
2A + 4B + 3C + D = 0
1A + 1B + 5C + D = 0
1A + 2B - 2C + D = 0

Решая эту систему уравнений, получим:

makefileCopy code
A = 7
B = -11
C = 3
D = -16

Таким образом, уравнение плоскости АВС имеет вид:

Copy code
7x - 11y + 3z - 16 = 0

Теперь найдем координаты точки Н - точки пересечения высоты DH и плоскости АВС. Для этого можно воспользоваться свойством высоты - она проходит через вершину и перпендикулярна соответствующей стороне. Таким образом, направляющий вектор высоты DH будет перпендикулярен вектору AB (или любой другой стороне), а точка Н будет лежать на высоте DH и на плоскости АВС.

Направляющий вектор AB:

scssCopy code
v = (1-2, 1-4, 5-3) = (-1, -3, 2)

Так как высота DH проходит через точку D(1, 2, -6), то ее направляющий вектор будет равен:

makefileCopy code
u = DH = D - H

где H - проекция точки D на сторону AB.

Для нахождения H можно воспользоваться формулой для проекции:

cssCopy code
H = A + t*(v)

где t - параметр, который можно найти из условия, что вектор DH перпендикулярен вектору AB:

Copy code
u * v = 0

Подставляя координаты точек, получим систему уравнений:

scssCopy code
(-1)t + 2 = 1
(-3)t + 4 = 2
(2)t - 5 = -6

Решая эту систему, получим:

makefileCopy code
t = -2
H = (5, 8, -1)

Таким образом, направляющий вектор высот