Question

Решите пожалуйста.СРОЧНО Lim x-0. Arcsin7x/3tg14x

Answer 1

$\lim_{n \to \00} \frac{arcsin7x}{3tg14x} = \frac{1}{3} \ lim_{n \to \00} \frac{7x}{14x} = \frac{1}{3} *\frac{1}{2} =\frac{1}{6}$

Answer 2

Для решения этого предела необходимо применить одно из правил Лопиталя, которое гласит, что если предел функции f(x) при x -> a и предел функции g(x) при x -> a существуют, и g(a) ≠ 0, то предел от их отношения равен пределу отношения производных этих функций в точке a:

lim_(x->a) [f(x) / g(x)] = lim_(x->a) [f'(x) / g'(x)]

Применим это правило к данному пределу. Сначала найдем производную функции arcsin(7x):

(arcsin(7x))' = 1 / sqrt(1 - (7x)^2)

Затем найдем производную функции tg(14x):

(tg(14x))' = 14 / cos^2(14x)

Теперь можем выразить предел отношения производных:

lim_(x->0) [arcsin(7x) / (3tg(14x))] = lim_(x->0) [(1 / sqrt(1 - (7x)^2)) / (3 * 14 / cos^2(14x))] = lim_(x->0) [(cos^2(14x) / (42 * sqrt(1 - (7x)^2)))]

Для того чтобы продолжить решение, нужно заметить, что

cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)

Применяя эту формулу с a = 7x, получаем

cos(14x) = 1 - 2sin^2(7x) = 1 - 2(7x)^2 + o(x^2)

где o(x^2) - бесконечно малая функция при x -> 0.

Теперь можем продолжить вычисления:

lim_(x->0) [(cos^2(14x) / (42 * sqrt(1 - (7x)^2)))] = lim_(x->0) [(1 - 2(7x)^2 + o(x^2))^2 / (42 * sqrt(1 - (7x)^2))] = lim_(x->0) [(1 - 4(7x)^2 + o(x^2)) / (42 * sqrt(1 - (7x)^2))]

Выносим константу 1/42 за пределы и применяем теорему о пределе произведения:

lim_(x->0) [(1 - 4(7x)^2 + o(x^2))] / sqrt(1 - (7x)^2) = 1/42 * lim_(x->0) [(1 - 4(7x)^2 + o(x^2)) / sqrt(1 - (7x)^2)]

Чтобы дальше продолжить решение, заметим, что выражение под знаком предела напоминает производную arcsin(x) по x, поэтому можно попробовать заменить 7x на sin(t) и привести выражение к более удобному виду:

1/42