Question

Составить уравнение касательной и нормали к параболе y=x^2-7x+10 в точке x=4

Answer 1

Для касательной - производная
2x-7
Значение призводной в точке х=4         2*4-7=1 (это k)
значение самой функции 4^2-7+10=16-7+10=19
y=1*x+b (при х=4 у=19) -> 19=4+b ->b=15
итого уравнение касательной y=1*x+15

Answer 2

Для составления уравнения касательной и нормали к параболе в точке x=4 необходимо найти координаты точки, в которой происходит касание или пересечение с этой параболой при x=4.

Сначала найдем значение функции y в точке x=4:

y = x^2 - 7x + 10 y = 4^2 - 7(4) + 10 y = 16 - 28 + 10 y = -2

Таким образом, искомая точка имеет координаты (4, -2).

Чтобы найти уравнение касательной, необходимо найти производную функции в точке x=4:

y = x^2 - 7x + 10 y' = 2x - 7 y'(4) = 2(4) - 7 y'(4) = 1

Значение производной в точке x=4 равно 1, что означает, что касательная имеет угловой коэффициент 1. Также известно, что касательная проходит через точку (4, -2). Используя формулу уравнения прямой y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) - известная точка на прямой, а k - угловой коэффициент, получаем:

y - (-2) = 1(x - 4) y + 2 = x - 4 y = x - 6

Таким образом, уравнение касательной к параболе y=x^2-7x+10 в точке x=4 имеет вид y = x - 6.

Чтобы найти уравнение нормали, необходимо найти угловой коэффициент, перпендикулярный угловому коэффициенту касательной. Это можно сделать, взяв отрицательный обратный к касательной:

k_н = -1/k = -1/1 = -1

Таким образом, угловой коэффициент нормали равен -1. Используя формулу уравнения прямой y - y1 = k_н(x - x1), получаем:

y - (-2) = -1(x - 4) y + 2 = -x + 4 y = -x + 2

Таким образом, уравнение нормали к параболе y=x^2-7x+10 в точке x=4 имеет вид y = -x + 2.