Question

Пусть p простое число большее 5 докажите что число 111...11 (p-1 единица) делится на p

Answer 1

111 … 11 (p – 1 единица)  = (10p – 1 – 1)/9, а 10p – 1  – 1 делится на p, так как p взаимно просто с 10 и с 9 (по малой теореме Ферма)

Answer 2

Рассмотрим число, состоящее из p-1 единицы:

N = 111...11 (p-1 единица)

Можно записать это число в следующем виде:

N = 10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^(p-2)

Теперь заметим, что 10 в степени k равно остатку от деления на p для любого целого k, так как 10^k = (2*5)^k = 2^k * 5^k, и так как p простое и больше 5, то p не делится ни на 2, ни на 5, следовательно, по малой теореме Ферма:

2^(p-1) ≡ 1 (mod p)

5^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Тогда 10^(p-1) = (2*5)^(p-1) ≡ 1 (mod p) по китайской теореме об остатках.

Таким образом, каждое слагаемое 10^k в разложении числа N по модулю p даёт остаток 1, а значит, и само число N даёт остаток 0 при делении на p.

Таким образом, мы доказали, что число 111...11 (p-1 единица) делится на простое число p, если p > 5.