Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 76 см, а гипотенуза треугольника равна 33 см.

Answer 1

Зная гипотенузу,найдем сумму двух катетов:
a+b = 76 - 33 = 43 (см.)
r = (a+b-c)/2 = (43-33)/2 = 5 см.
Ответ: 5 см.

Answer 2

Пусть $r$ - радиус вписанной окружности, $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника, где $c$ - гипотенуза.

Так как окружность вписана в треугольник, то каждая из ее точек касания с сторонами треугольника является серединой отрезка между точкой касания и вершиной, противоположной этой стороне. Таким образом, мы можем разделить каждую сторону на две части: $a/2$, $b/2$ и $(c/2)$, где $(c/2)$ является средним отрезком треугольника.

Используя теорему Пифагора для треугольника, мы можем выразить $(c/2)$ через $a$ и $b$:

$(c/2)^2 = c^2/4 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$c^2 = a^2 + b^2$

Также, периметр треугольника равен:

$a + b + c = 2(a/2 + b/2 + c/2) = 2s,$

где $s$ - полупериметр треугольника. Заметим, что $s = (a + b + c)/2 = 38$.

Теперь мы можем выразить радиус $r$ через площадь треугольника, используя формулу:

$S = rs,$

где $S$ - площадь треугольника.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$

Совмещая все формулы, получаем:

$r = \frac{S}{s} = \frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$

$r = \frac{\sqrt{38 \cdot (38-a) \cdot (38-b) \cdot (38-c)}}{38}$

Заметим, что $a + b > c$, поэтому:

$38 - c < a + b = 76 - c < 76.$

Отсюда следует, что $38 - c < 38/2 = 19$. Следовательно, $c > 19$.

Теперь мы можем подставить $c=33$ и решить уравнение:

$r = \frac{\sqrt{38 \cdot (38-a) \cdot (38-b) \cdot 5}}{38}$

Так как $a^2 + b^2 = c^2 = 33^2$, то $b^2 = 33^2 - a^2$. Подставляем это в уравнение:

$$$$