Question

Пространство закрашено в четыре цвета. Доказать, что найдутся две точки, расстояние между которыми 1 м, закрашенные в один цвет.

Answer 1

Пусть этих точек нет.
рассмотрим правильный тетраэдр SABC со стороной 1 м.
Все его вершины разного цвета. Рассмотрим точку S' симметричную вершине S относительно плоскости АBC . она на расстоянии 1м от вершин АВС , а значит того же цвета что и S. Расстояние от S до S' больше 1 - 2√2/√3 . Все точки находящиеся от S на этом расстоянии должны быть того же цвета что и S . но очевидно что на этой сфере найдутся две точки на расстоянии 1м. получили противоречие.

Answer 2

Допустим что две точки лежащие на расстоянии 1 м разного цвета,
построим квадрат со стороной 1м , тогда получим что все точки принадлежашие вершинам разного цвета. 
отметим точку А1 и D1 симметричную соответственно точке А и  D  относительно стороны ВС ,
а так как  А1  находится от точек В и D1 на расстоянии 1м она   не совпадает с ними по цвету   , значит она совпадает по цвету с точкой А либо С , либо D
,то есть если начертить окружность с радиусом 2 ,и  центром в точке А,  либо окружность с радиусом √2 с центром в точке С , либо кружность с радиусом √ 5 с центром в точке  D,то   все точки принадлежащие этой окружности будут одного цвета , значит найдутся две точки расстояние между которыми равно 1.  .Получили противоречие.

Answer 3

Эта задача является классическим примером из области теории графов и известна как теорема Хадвигера. Формально, ее можно сформулировать следующим образом:

Пусть дано произвольное раскраска плоскости в четыре цвета. Тогда существуют две точки, закрашенные в один цвет, расстояние между которыми равно 1 метру.

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и требует использования различных математических инструментов, таких как теория графов, топология и комбинаторика. Однако, мы можем представить ее основную идею.

Рассмотрим четыре цвета как вершины графа. Если две точки закрашены в один цвет, то соответствующие вершины графа соединены ребром. В нашем случае, мы имеем полный граф на четырех вершинах, то есть граф, в котором каждая вершина соединена с каждой другой вершиной.

Теперь, если мы выберем произвольную точку на плоскости, то она будет соединена с четырьмя другими точками на расстоянии 1 метра от нее. Каждая из этих точек будет закрашена в один из четырех цветов. Таким образом, мы можем рассмотреть подграф, образованный этими четырьмя вершинами.

Если в этом подграфе есть две смежные вершины, то они соответствуют двум точкам на плоскости, расстояние между которыми равно 1 метру и закрашенным в один цвет. Если же таких вершин нет, то подграф должен иметь форму звезды, где одна вершина соединена со всеми остальными вершинами. В этом случае мы можем рассмотреть расстояние между двумя смежными вершинами, которое также равно 1 метру.

Таким образом, мы доказали, что в любой раскраске плоскости в четыре цвета найдутся две точки, закрашенные в один цвет, расстояние между которыми равно 1 метру.