Question

В треугольнике ABC AB=7, BC=9, CA=4. Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=1:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. НУЖНО РЕШЕНИЕ СРОЧНО

Answer 1

На основе теоремы косинусов:
- по сторонам треугольника АВС находим косинус угла В:
cos B = 949+81-16)/(2*7*9) = 114/126 = 19/21.
- используя это значение, находим длину АД:
АД = √(49+2,25-2*7*1,5*(19/21)) = √32,25.

Зная длины сторон треугольников АСД и АВД по формуле:
r = S/p, где S - площадь, а p - полупериметр, находим радиусы вписанных окружностей в треугольники  АСД и АВД.
r( АСД) = 1,3016357.
r( АВД) = 0,3154076.

Находим расстояние между центрами окружностей (используя координаты их центров): О1О2 = 4,78172.

Расстояние L между точками E и F равно:
L =√(O1O2)²-(r1+r2)²) = √(4,78172²-(1,3016357+0,3154076)²) =
   = √( 22,8648- 2,61483) = √ 20,25=  4,5.

Рассмотрим второй вариант решения, когда точка Д находится на продолжении стороны ВС.

Пусть длина отрезка ВД - это х.
Из заданного соотношения ВД : ДС=1 : 5 находим х/(х+9) = 1/5.
5х = х + 9,
4х = 9,
 х = 9/4 = 2,25.
Длина ДС = 2,25 + 9 = 11,25.

Косинус угла С не изменился и равен 2/3.
АД = √(4²+11,25²-2*4*11,25*(2/3)) = √82,5625 ≈  9,0863909.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности находим по формуле: L = p-a, где р - полупериметр треугольника, а - сторона, имеющая общий угол с искомым отрезком.
Находим: р(АДС) =    (11,25 + 4 + 9.0863909)/2 = 12.168195.
               р(АВС) =    (2,25 + 9,0863909 + 7)/2 = 9,168195.
Получаем длину EF = 6.

Answer 2

Для начала, найдем длину стороны AC треугольника ABC, используя теорему косинусов:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc cos(A) = (9^2 + 4^2 - 7^2) / (294) cos(A) = 1/8 A = arccos(1/8) ≈ 82.46°

Затем, найдем площадь треугольника ABC:

p = (a + b + c) / 2 = (7 + 9 + 4) / 2 = 10 S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(1031*5) = sqrt(150) ≈ 12.25

Теперь найдем высоту треугольника ABC, проведенную к стороне AC:

h = 2S / AC = 2*sqrt(150) / 4 = sqrt(150) / 2 ≈ 3.89

Так как BD:DC=1:5, то BD = BC/(1+5) = 9/6 = 3/2, а DC = BC - BD = 9 - 3/2 = 15/2. Теперь можно найти длину стороны AD:

AD = AC - CD = 4 - 15/2 = -7/2

Длина отрезка EF равна разности длин отрезков AE и AF:

EF = AE - AF

Теперь найдем длину отрезка AE. Для этого обратимся к формуле для радиуса вписанной окружности треугольника ADC:

r_ADC = sqrt((p-AD)(p-DC)(p-AC)) / p = sqrt((10+7/2)(10-15/2)(10-4)) / 10 = sqrt(1575) / 20 ≈ 0.99

Здесь p = (AD+DC+AC) / 2 = (-7/2 + 15/2 + 4) / 2 = 6/2 = 3.

Так как точка E касается стороны AD, то AE = r_ADC = sqrt(1575) / 20 ≈ 0.99.

Аналогично, для нахождения длины отрезка AF, мы используем радиус вписанной окружности треугольника ADB:

r_ADB = sqrt((p-AD)(p-BD)(p-AB)) / p = sqrt((10+7/2)(10-3/2)(10-7)) / 10 = sqrt(1575) / 40 ≈ 0.50

Так как точка F касается стороны AD, то AF = r_ADB = sqrt(1575) / 40 ≈ 0.50.

Теперь мы можем найти длину отрезка EF:

EF = AE - AF = sqrt(1575) / 20 - sqrt(1575) / 40 = sqrt(1575) / 40 ≈ 0.49.

Итак, длина от