Question

Сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка ABC равна 24. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол C равен 30. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Answer 1

Пусть ВС равно АС (так удобнее вычислять радиус, который для всех вписанных треугольников, конечно, одинаков). Пусть О -центр окружности.
Угол АОВ=60 градуса(центральный, вдвое больше С). Значит треугольник АОВ- равносторонний. Искомый радиус равен 24.

Answer 2

Воспользуемся теоремой синусов.
R=a/2sinC=24/2sin30=24/2*1/2=24
ответ R=24

Answer 3

Чтобы найти радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$, мы можем использовать формулу:

$R = \frac{abc}{4K},$

где $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника, а $K$ - его площадь.

Для начала найдем длины сторон треугольника $ABC$. Мы знаем, что сторона $AB$ равна 24. Обозначим через $BC$ сторону, противолежащую углу $A$, а через $AC$ - сторону, противолежащую углу $B$. Тогда угол $C$ равен $30^\circ$, а сторона $BC$ противолежащая ей равна $BC = 2AB = 48$.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длин сторон $AC$ и $BC$:

$$\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos C \\ &= 24^2 + 48^2 - 2 \cdot 24 \cdot 48 \cdot \cos 30^\circ \\ &= 24^2 + 48^2 - 24 \cdot 48 \\ &= 576. \end{aligned}$$

Таким образом, $AC = \sqrt{576} = 24$.

Осталось найти площадь треугольника $ABC$, которую мы можем вычислить, используя формулу Герона:

$$\begin{aligned} s &= \frac{AB + BC + AC}{2} \\ &= \frac{24 + 48 + 24}{2} \\ &= 48. \end{aligned}$$

Затем

$$\begin{aligned} K &= \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)} \\ &= \sqrt{48\cdot 24\cdot 24\cdot 24} \\ &= 2304. \end{aligned}$$

И наконец, мы можем вычислить радиус $R$ описанной окружности, используя формулу:

$$\begin{aligned} R &= \frac{abc}{4K} \\ &= \frac{24\cdot 48\cdot 24}{4\cdot 2304} \\ &= 12. \end{aligned}$$

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника $ABC$ равен 12.