Question

использую числа 1,2,3,4 ( эти числа можно только употреблять по два раза на каждый вопрос )запишите восьмизначные числа чтобы:1)между единицами было одна цифра, 2)между двойками две цифры, 3)между тройками три цифры, 4)между четверками четыре цифры

Answer 1

Несложно догадаться, что 4 стоит на 1-3 месте, ну и методом математического перебора находим число:
 23421314

Answer 2

1) 1 2134234
2) 2 1324134
3) 123 41234
4) 124 12334

Answer 3

1. Между единицами было одна цифра:

• 1 _ 1 _ _ _ _

Мы можем выбрать одну из двух доступных цифр (2 или 3) для второй позиции, и затем использовать оставшиеся цифры в любом порядке для оставшихся пяти позиций. Таким образом, существует $2\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=240$ различных восьмизначных чисел, удовлетворяющих этому условию.

2. Между двойками две цифры:

• _ 2 _ 2 _ _ _

Аналогично, мы можем выбрать одну из двух доступных цифр для первой позиции, одну из трех доступных цифр для третьей позиции, и затем использовать оставшиеся цифры в любом порядке для оставшихся пяти позиций. Таким образом, существует $2\cdot3\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720$ различных восьмизначных чисел, удовлетворяющих этому условию.

3. Между тройками три цифры:

• _ _ 3 _ _ 3 _ _

Аналогично, мы можем выбрать одну из двух доступных цифр для первой позиции, одну из трех доступных цифр для четвертой позиции, и затем использовать оставшиеся цифры в любом порядке для оставшихся пяти позиций. Таким образом, существует $2\cdot3\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720$ различных восьмизначных чисел, удовлетворяющих этому условию.

4. Между четверками четыре цифры:

• _ _ _ 4 _ _ _ 4

Аналогично, мы можем выбрать одну из двух доступных цифр для первой позиции, одну из трех доступных цифр для пятой позиции, и затем использовать оставшиеся цифры в любом порядке для оставшихся пяти позиций. Таким образом, существует $2\cdot3\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720$ различных восьмизначных чисел, удовлетворяющих этому условию.

Итак, всего существует $240+720+720+720=2400$ различных восьмизначных чисел, удовлетворяющих заданным условиям.