Question

на вокзале Таня и Люся поместили сумкив автоматикеские камеры хранения. У камер шестизначные номера, первая цифра которых не ноль. Номер Люсиной камеры имеет первую цифру, на три большую, чем у Тани, а остальные цифры номера совпадают. При делении на 7 номер Люсиной камеры даёт остаток 4. Какой остаток при делении на 7 даёт номер камеры, в которой находится сумка Тани? РЕШЕНИЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО!​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Исходу из того, что три последние цифры числа, дают остаток при делении.

Методом научного тыка подбираем, что остаток 4 у 333. Поскольку последние 5 цифр одинаковые делаем проверку 833333 ÷7= 119047 +4 (подходит)

Определяем остаток номера Тани 533333 ÷7= 74190 +3

Остаток от деления номера камеры на 7, у Тани, равен 3.

Answer 2

Пусть номер камеры Тани будет представлен как $TXYZAB$, где $T, X, Y, Z, A$ - цифры номера камеры (здесь $T$ - первая цифра). Тогда номер камеры Люси будет иметь вид $L(X+3)YZAB$.

По условию, номер Люсиной камеры даёт остаток 4 при делении на 7, то есть:

$(X+3)YZAB \equiv 4 \pmod 7$

Разложим каждую из цифр на сумму произведений на степени 10:

$(X+3)YZAB = (X+3)\cdot 10^4 + Y\cdot 10^3 + Z\cdot 10^2 + A\cdot 10 + B$

$= X\cdot 10^4 + 3\cdot 10^4 + Y\cdot 10^3 + Z\cdot 10^2 + A\cdot 10 + B$

$\equiv 3\cdot 10^4 + X\cdot 10^4 + Y\cdot 10^3 + Z\cdot 10^2 + A\cdot 10 + B \pmod 7$

Таким образом, имеем:

$3\cdot 10^4 + X\cdot 10^4 + Y\cdot 10^3 + Z\cdot 10^2 + A\cdot 10 + B \equiv 4 \pmod 7$

$3\cdot 3^4 + X\cdot 3^4 + Y\cdot 3^3 + Z\cdot 3^2 + A\cdot 3 + B \equiv 4 \pmod 7$

$4X + Y - 2Z - A + 5B \equiv 2 \pmod 7 \qquad (*)$

Также заметим, что номер камеры Тани отличается от номера камеры Люси только первой цифрой, то есть $T = X + 3$. Таким образом, остаток при делении на 7 номера камеры Тани будет таким же, как остаток при делении на 7 номера камеры Люси с заменой $X$ на $T-3$:

$TYZAB \equiv (T-3)YZAB \pmod 7$

$-3YZAB \equiv 0 \pmod 7$

$YZAB \equiv 5 \pmod 7 \qquad (**)$

Теперь систему уравнений (*) и () можно решить методом подстановки. Из уравнения () следует, что $Z$ и $A$ не могут быть равны 0 или 7 (иначе $YZAB$ было бы кратно 7). Значит, они могут принимать значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Подставляем каждое из этих значений в уравнение (*), начиная с $Z=1, A=1$, и находим первую пару $(X