Question

Прошу помочь, пожалуйста. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых уравнение |1-5√x|=3(x+a) имеет ровно два корня.

Answer 1

1) рассмотрим случай

1-5*sqrt(x)>=0 или x E [0,1/25]

Замена sqrt(x)=t>=0

3t^2+5t+3a-1=0

D=25-12(3a-1)=37-36a

t=(-5+sqrt(37-36a))/6

Второй корень не подходит по условию t>=0

откуда a E (0,1/3] учитывая a>0

То есть один корень на интервале (0,1/3]

2) отрицательная подмодульная часть

1-5*sqrt(x)=-3x-3a  

3t^2-5t+3a+1=0

D=25-12(3a+1) = 13-36a

t=(5+/-sqrt(13-36a))/2  

{ (5+sqrt(13-36a))/2>0

{ (5+sqrt(13-36a))/2>0  

Откуда a E (0,13,36) учитывая a>0   

3) значит чтобы уравнение имело два корня, нужно чтобы первый случай не существовал, то есть надо рассмотреть случай a>1/3 тогда второй будет иметь два корня, то есть в промежутке  

a E (1/3, 13/36) уравнение имеет два корня.

Answer 2

...................................................

Answer 3

Рассмотрим уравнение |1 - 5√x| = 3(x + a) и попробуем найти значения параметра a, при которых оно имеет ровно два корня.

Для начала заметим, что корни этого уравнения будут положительными числами, так как выражение √x не имеет смысла для отрицательных значений x.

Поскольку модуль может быть равен только неотрицательному числу, то можно рассмотреть два случая:

1. 1 - 5√x = 3(x + a) - это соответствует случаю, когда выражение в модуле положительно. Тогда уравнение примет вид:

   1 - 5√x = 3(x + a)

   Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:

   3x - 5√x - 3a - 2 = 0

   Это квадратное уравнение относительно √x, которое имеет два корня, если его дискриминант положителен:

   (5/3)² + 4 * 3 * (3a + 2) > 0

   25/9 + 36a + 24 > 0

   36a > -49/9

   a > -7/36

2. 1 - 5√x = -3(x + a) - это соответствует случаю, когда выражение в модуле отрицательно. Тогда уравнение примет вид:

   1 - 5√x = -3(x + a)

   Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:

   3x + 5√x - 3a - 4 = 0

   Это квадратное уравнение относительно √x, которое имеет два корня, если его дискриминант положителен:

   (5/3)² - 4 * 3 * (3a + 4) > 0

   25/9 - 36a - 32/3 > 0

   36a < -47/9

   a < -47/324

Таким образом, решая неравенства, получаем:

-7/36 < a < -47/324

Ответ: все положительные значения параметра a, лежащие в интервале (-7/36, -47/324).