Question

Найти интеграл ∫x³dx*tgx⁴

Answer 1

Интеграл от x^n равен x^(n+1)/(n+1). Тогда int(x³dx)*tg(x⁴)=x⁴/4*tg(x⁴).

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Пусть u = x^3 и dv = tg^4(x) dx, тогда du/dx = 3x^2 и v = (1/5)tg^5(x) - (2/3)tg^3(x) + 2tg(x) + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Используя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫x^3 tg^4(x) dx = (1/5)x^3 tg^5(x) - (2/3)x^3 tg^3(x) + 2x^3 tg(x) - ∫(1/5)tg^5(x) * 3x^2 dx + ∫(2/3)tg^3(x) * 3x^2 dx - ∫2tg(x) * 3x^2 dx

Вычислим каждый из трех интегралов справа от знака равенства:

∫(1/5)tg^5(x) * 3x^2 dx = (3/5)∫x^2tg^5(x) d(tg(x)) = (3/5) * (1/6)tg^6(x) - (1/5)∫tg^6(x) dx = (1/30)tg^6(x) - (1/5)∫tg^6(x) dx

∫(2/3)tg^3(x) * 3x^2 dx = (2/3)∫x^2tg^3(x) d(tg(x)) = (2/3) * (1/4)tg^4(x) - (2/3)∫tg^4(x) dx = (1/6)tg^4(x) - (4/9)∫tg^4(x) dx

∫2tg(x) * 3x^2 dx = 6∫x^2tg(x) d(x) = 6 * (1/3)x^3tg(x) - 6∫x^3d(tg(x)) = 2x^3tg(x) - 6∫tg(x) dx = 2x^3tg(x) + 6ln|cos(x)| + C

Таким образом, подставляем вычисленные значения обратно в исходный интеграл:

∫x^3 tg^4(x) dx = (1/5)x^3 tg^5(x) - (2/3)x^3 tg^3(x) + 2x^3 tg(x) - (1/30)tg^6(x) + (1/5)∫tg^6(x) dx + (1/6)tg^4(x) - (4/9)∫tg^4(x) dx + 2x^3tg(x) + 6ln|cos(x)| + C

Интеграл ∫tg^4(x) dx можно вычислить с помощью замены переменной, например, заменой t = tg(x), тогда dt/dx = sec^2(x