Question

Назовите две последние цифры значения произведения: 111⋅222⋅333⋅444⋅555⋅666

Answer 1

Задание № 2:

Назовите две последние цифры значения произведения:

111*222*333*444*555*666.

РЕШЕНИЕ: Преобразуем: 111*222*333*444*555*666=111*2*111*333*444*5*111*666=10*(111*111*333*444*111*666)

Так как в произведении есть сомножитель 10, то последняя цифра равна 0. Остается найти последнюю цифру произведения 111*111*333*444*111*666. Сомножители 11 не меняют последнюю цифру произведения, так как оканчиваются на 1. Остается найти последнюю цифру произведения 333*444*666.

333*444*666=...3*...4*...6=...2*...6=...2, так как 3*4=12 и 2*6=12.

Итак, последняя цифра 0, предпоследняя цифра 2.

ОТВЕТ: 20

Answer 2

Для того, чтобы найти две последние цифры произведения 111⋅222⋅333⋅444⋅555⋅666, можно разложить каждый из сомножителей на множители и затем применить к полученным множителям правило остатков для нахождения последних двух цифр произведения.

Можно заметить, что каждый из сомножителей 111, 222, 333, 444, 555 и 666 можно представить в виде произведения двух чисел, где одно из них равно 3 или 7, а другое находится в диапазоне от 1 до 19. Например, 111 = 3 ⋅ 37, 222 = 2 ⋅ 3 ⋅ 37, и так далее.

Тогда произведение 111⋅222⋅333⋅444⋅555⋅666 можно записать в следующем виде:

(3 ⋅ 2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 3 ⋅ 1) ⋅ (3 ⋅ 3 ⋅ 1) ⋅ (4 ⋅ 3 ⋅ 2) ⋅ (5 ⋅ 3 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (37 ⋅ 37)

Здесь первые три множителя (3 ⋅ 2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 3 ⋅ 1) ⋅ (3 ⋅ 3 ⋅ 1) дают последнюю цифру произведения, которая равна 6. Оставшиеся множители можно записать в виде произведения двух чисел, где каждое из них имеет последние две цифры 37.

Таким образом, чтобы найти две последние цифры произведения 111⋅222⋅333⋅444⋅555⋅666, необходимо найти остаток от деления произведения (37 ⋅ 37) на 100. Очевидно, что этот остаток равен 69. Тогда произведение 111⋅222⋅333⋅444⋅555⋅666 имеет две последние цифры, которые равны 6 ⋅ 69 = 414. Таким образом, ответ равен 14.