Question

Найти общее решение y""=16e^(-4x)

Answer 1

записываем характеристическое уравнение :

λ^4=0

то есть у нас 4 одинаковых лямбды, тогда общее однородной решение

уо.о.=C1 + C2x +C3x^2± C4x^3

частное решение найдём в виде

у ч=A*e^(-4x)

y'=A*(-4)*e^(-4x)

y''=A*(16)*e^(-4x)

y' '' =A*(-4*16)*e^(-4x)

y''''=A*(16*16)*e^(-4x)

поставим в исходное

y''''=A*(16*16)*e^(-4x) = 16e^(-4x)

отсюда А =1/16

у ч =e^(-4x) ÷16

итак общее решение уо. н. =уо. о. +y ч.

у=C1 + C2x +C3x^2± C4x^3 + e^(-4x) /16

Answer 2

Для того, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения y'' = 16e^(-4x), мы сначала найдем его частное решение, а затем добавим к нему общее решение соответствующего однородного уравнения.

Чтобы найти частное решение, предположим, что y = Ae^(-4x), где A - постоянная. Тогда y'' = 16e^(-4x), и мы можем подставить это в уравнение, чтобы получить:

A(-16e^(-4x)) = 16e^(-4x)

Разделив обе части на -32e^(-4x), мы получаем A = -1/2. Таким образом, частным решением является y = (-1/2)e^(-4x).

Чтобы найти общее решение, мы должны решить однородное уравнение y'' = 0. Уравнение имеет общий вид y = Ax + B, где A и B - произвольные постоянные. Поэтому общее решение дифференциального уравнения y'' = 16e^(-4x) имеет вид:

y = (-1/2)e^(-4x) + Ax + B

где A и B - произвольные постоянные.