Question

На клетчатой бумаге нарисован квадрат 100×100100×100. Какое наибольшее число клеток этого квадрата сможет разрезать прямая?

Answer 1

Если прямая проходит по диагонали между между 100 клетками и 99 клетками, получается , что она разрезает 100 клеток данного квадрата и 99 клеток квадрата 99*99*99*99. Итого 100+99=199.

Answer 2

Пусть прямая проходит через клетки с координатами (0, a) и (b, 0), где 0≤a,b≤100. Тогда мы можем выразить уравнение этой прямой как y = (a/b)x, если b не равно нулю, или x = 0, если b равно нулю.

Чтобы найти количество клеток, которые пересекает эта прямая, мы можем рассмотреть все возможные значения a и b и посчитать количество клеток, которые пересекаются с каждой прямой.

Если b равно нулю, то прямая проходит через вертикальную линию, и она пересекает 100 клеток.

Если a равно нулю, то прямая проходит через горизонтальную линию, и она также пересекает 100 клеток.

Если a и b не равны нулю, то прямая пересекает a+1 клеток на каждой горизонтальной линии, начиная с линии (0, a) и заканчивая линией (b, 0). Таким образом, суммарное количество клеток, которые пересекает прямая, равно (a+1) + (a+2) + ... + (b+1). Это можно упростить, применив формулу для суммы арифметической прогрессии:

(a+1) + (a+2) + ... + (b+1) = (b-a+1)(a+b)/2.

Максимальное значение этого выражения достигается, когда b-a равно 99 (иначе мы можем увеличить значение выражения, уменьшив значение a и/или увеличив значение b). Таким образом, максимальное количество клеток, которые можно разрезать прямой, равно (99+1)(1+99)/2 = 5050.

Ответ: 5050 клеток.