Question

Есть два равных треугольника ABC и A1B1C1 Докажите что у них равны высоты AD и A1D1 проведенные к соответствующим сторонам BC и B1C1

Answer 1

Тр.ADB=тр.A1D1B1 (так как их стороны равны)углы DAB и D1A1B1 равны углы B и B1 равны углы A и A1 равны (так как угол DAB равен углу D1A1B1, а угол CAD равен углу C1A1D1) треугольники ABC и A1B1C1 равны (по двум углам и стороне между ними)

Answer 2

Пусть H и H1 - это основания высот из вершин A и A1 соответственно.

Так как треугольники ABC и A1B1C1 равны, их соответствующие стороны равны, то есть AB = A1B1, AC = A1C1 и BC = B1C1.

Рассмотрим треугольники AHB и A1H1B1. Они являются прямоугольными треугольниками, так как высоты AH и A1H1 являются перпендикулярами к основаниям BC и B1C1 соответственно. Кроме того, у этих треугольников гипотенузы AB и A1B1 равны.

Из этого следует, что треугольники AHB и A1H1B1 подобны друг другу по признаку "катет-гипотенуза-катет". Значит, соответствующие высоты AH и A1H1 относятся как соответствующие катеты HB и B1H1:

AH / A1H1 = HB / B1H1

Но так как AB = A1B1, то HB = B1H1, поэтому

AH / A1H1 = HB / B1H1 = 1

Следовательно, высоты AH и A1H1 равны, что и требовалось доказать.