Question

Помогите пожалуйста!!!! |x^2-5x-2|=x^2-1

Answer 1

При $x^2-1 \geq0~~\Rightarrow~~ \left[\begin{array}{ccc}x\geq 1\\ x\leq -1\end{array}\right$ возводим обе части до квадрата обе части уравнения, получим

$|x^2-5x-2|^2=(x^2-1)^2\\ \\ (x^2-5x-2)^2-(x^2-1)^2=0\\ \\ (x^2-5x-2-x^2+1)(x^2-5x-2+x^2-1)=0\\ \\ (-5x-1)(2x^2-5x-3)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$-5x-1=0~~\Rightarrow~~~ -5x=1~~~\Rightarrow~~~ x_1=-\dfrac{1}{5}$

$2x^2-5x-3=0\\ D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49\\ x_2=\dfrac{5+7}{2\cdot 2}=3;~~~~~ x_4=\dfrac{5-7}{2\cdot2}=-\dfrac{1}{2}$

Корни $x=-\dfrac{1}{5};~ x=-\dfrac{1}{2}$ не удовлетворяют условию $\left[\begin{array}{ccc}x\geq 1\\ x\leq -1\end{array}\right$

Ответ: x = 3.

Answer 2

Для решения уравнения |x^2 - 5x - 2| = x^2 - 1, мы должны рассмотреть два случая: когда выражение внутри модуля положительно и когда оно отрицательно.

Пусть x^2 - 5x - 2 > 0. Тогда уравнение примет вид:

x^2 - 5x - 2 = x^2 - 1

-5x - 2 = -1

-5x = 1

x = -1/5

Однако, мы должны проверить, удовлетворяет ли это решение исходному уравнению. Подставляем x = -1/5 и получаем:

|-1/25 - 1| = 24/25

Уравнение не выполняется при x = -1/5.

Теперь рассмотрим случай, когда x^2 - 5x - 2 < 0. В этом случае выражение внутри модуля меняет знак, и уравнение примет вид:

-(x^2 - 5x - 2) = x^2 - 1

-x^2 + 5x + 2 = x^2 - 1

2x^2 - 5x - 3 = 0

Факторизуем это уравнение, чтобы найти корни:

(2x + 1)(x - 3) = 0

x = -1/2 или x = 3

Теперь проверим оба решения, подставив их в исходное уравнение:

|x^2 - 5x - 2| = x^2 - 1 при x = -1/2:

|1/4 + 5/2 - 2| = 1/4 - 1

|-1/4| = -3/4

Уравнение не выполняется при x = -1/2.

|x^2 - 5x - 2| = x^2 - 1 при x = 3:

|9 - 15 - 2| = 9 - 1

|-8| = 8

Уравнение выполняется при x = 3.

Итак, единственным решением этого уравнения является x = 3.