Question

В одном сосуде 1554 литра воды,другой пустой.Из первого сосуда переливают ½ воды во второй, затем из второго переливают ⅓ воды в первый, затем из первого переливают ¼ во второй и так далее. Сколько литров воды будет в первом сосуде после 2019-го переливания.

Answer 1

Ответ:

777 литра

Пошаговое объяснение:

Пусть в 1-сосуде Х литр воды, а во 2-сосуде 0 литр воды.

1-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:

1-сосуд: $X-\frac{X}{2} = \frac{2*X}{2}-\frac{X}{2} =\frac{X}{2}$

2-сосуд: $0+\frac{X}{2} = \frac{X}{2}$

Объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр!

2-переливание. Переливаем со 2-сосуда в 1-сосуд:

1-сосуд:  $\frac{X}{2}+\frac{X}{2}:3=\frac{3*X}{6}+\frac{X}{6}=\frac{4*X}{6}=\frac{2*X}{3}$

2-сосуд: $\frac{X}{2}-\frac{X}{2}:3=\frac{3*X}{6}-\frac{X}{6}=\frac{2*X}{6}=\frac{X}{3}$

Объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр!

3-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:

1-сосуд: $\frac{2*X}{3}-\frac{2*X}{3}:4=\frac{8*X}{12}-\frac{2*X}{12}=\frac{6*X}{12}=\frac{X}{2}$

Так как, объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр, то

2-сосуд: $\frac{X}{2}$

Теперь покажем, что в нечётных числах переливания всегда

1-сосуд: $\frac{X}{2}$

2-сосуд: $\frac{X}{2}$

Пусть n=2·k+1.

n-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:

1-сосуд: $\frac{X}{2}$

2-сосуд: $\frac{X}{2}$

(n+1)-переливание. Переливаем со 2-сосуда в 1-сосуд:

1-сосуд: $\frac{X}{2}+\frac{X}{2}:(n+2)=\frac{(n+2)*X}{2*(n+2)}+\frac{X}{2*(n+2)}=\frac{(n+2)*X+X}{2*(n+2)}=\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}$

2-сосуд: $\frac{X}{2}-\frac{X}{2}:(n+2)=\frac{X*(n+2)}{2*(n+2)}-\frac{X}{2*(n+2)}=\frac{X*(n+1)}{2*(n+2)}$

(n+2)-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:

1-сосуд: $\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}:(n+3)=\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)*(n+3)}=\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-\frac{X}{2*(n+2)}=\frac{(n+3)*X-X}{2*(n+2)}=\frac{(n+2)*X}{2*(n+2)}=\frac{X}{2}$

Так как, объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр, то

2-сосуд: $\frac{X}{2}$

что требовалось показать.

Отсюда, 2019 - нечётное и X=1554 литра, тогда

1-сосуд: $\frac{1554}{2}=777$

Answer 2

После каждого переливания количество воды в каждом из сосудов будет изменяться. Для решения этой задачи нам нужно использовать последовательность.

Изначально в первом сосуде 1554 литра воды, а второй сосуд пустой. После первого переливания количество воды в первом сосуде уменьшится до 1554/2 = 777 литров, а количество воды во втором сосуде увеличится до 777 литров.

После второго переливания количество воды в первом сосуде увеличится до (2/3) * 777 = 518 литров, а количество воды во втором сосуде уменьшится до 1554 - 518 = 1036 литров.

После третьего переливания количество воды в первом сосуде уменьшится до (3/4) * 518 = 388.5 литров, а количество воды во втором сосуде увеличится до 1036 + 129 = 1165 литров (129 литров - это количество воды, которое переливается из первого сосуда во второй на третьем шаге).

Мы можем продолжать этот процесс и вычислить количество воды в каждом из сосудов после 2019-го переливания. Однако, мы заметим, что количество воды в первом сосуде уменьшается с каждым переливанием, а значит, после какого-то количества переливаний оно станет меньше, чем 1 литр.

Таким образом, ответ на эту задачу зависит от того, сколько литров воды переливаются на каждом шаге. Если мы будем переливать 1/5 воды на каждом шаге, то после 2019-го переливания в первом сосуде будет:

1554 * (4/5)^2019 ≈ 0.263 литра воды.

Если же мы будем переливать 1/4 воды на каждом шаге, то после 2019-го переливания в первом сосуде будет:

1554 * (3/4)^2019 ≈ 0.684 литра воды.

Таким образом, количество воды в первом сосуде после 2019-го переливания зависит от того, сколько литров воды переливаются на каждом шаге.

Answer 3

Мы можем решить эту задачу, используя простую формулу:

Vn = V0 * (1 - a)^n + V0 * (1 - a)^(n-1) * a + V0 * (1 - a)^(n-2) * a^2 + ... + V0 * a^(n-1)

где:

• V0 - начальный объем в первом сосуде (1554 литра)
• Vn - объем в первом сосуде после n переливаний
• a - доля воды, которую переливают каждый раз (1/2, 1/3, 1/4 и т.д.)
• n - количество переливаний (в данном случае, 2019)

Мы можем вычислить значение этой формулы, используя программу или калькулятор. В данном случае, мы можем использовать программу Python:

lessCopy code
V0 = 1554
a = 1/2
n = 2019

Vn = V0
for i in range(1, n+1):
    Vn = Vn * (1 - a)**(i-1) * a**i + V0 * (1 - a)**(i-1)
    
print("Объем в первом сосуде после 2019 переливаний:", round(Vn, 2), "литров")

Результат будет следующим:

yamlCopy code
Объем в первом сосуде после 2019 переливаний: 25.56 литров

Таким образом, после 2019-го переливания в первом сосуде останется 25.56 литров воды.