Question

Помогите пожалуйста решить неравенство 4^x-2^x<12

Answer 1

2^x=a
a²-a-12<0
a1+a2=1 U a1*a2=-12⇒a1=-3 U a2=4
         +              _              +
_______________________________
             -3                4
-3<a<4⇒-3<2^x<4⇒x<2⇒x∈(-≈;2)

Answer 2

Замена 2^x=t,t>0
t^2-t-12<0
t1*t2=-12
t1+t2=1
t1=-3
t2=4
t∈(0;4)
2^x=4
x=2
Ответ:x∈(-;2)

Answer 3

Данное неравенство можно решить, используя свойства степеней и преобразования неравенств. Давайте рассмотрим его поэтапно:

1. Приведем обе стороны неравенства к одному основанию. Заметим, что 2^x является множителем обеих частей неравенства, поэтому мы можем разделить обе стороны на 2^x, не изменяя знака неравенства:

   4^x/2^x - 2^x/2^x < 12/2^x

2. Упростим выражение в левой части, используя свойство степеней с одинаковым основанием:

   (2^x)^2/2^x - 1 < 6/2^x

   2^x - 1 < 6/2^x

3. Приведем выражение в правой части к общему знаменателю:

   2^x - 1 < 3/2^(x-1)

4. Умножим обе части неравенства на 2^(x-1), чтобы избавиться от знаменателя в правой части:

   2^2x-2^x < 3

5. Заметим, что данное неравенство сводится к квадратному уравнению:

   t^2 - t - 3 = 0, где t = 2^x

6. Решим квадратное уравнение:

   t1 = (1 + sqrt(13))/2, t2 = (1 - sqrt(13))/2

   Заметим, что t2 < 0, поэтому ему не соответствует решение исходного неравенства.

7. Найдем соответствующее значение x для t1:

   t1 = 2^x = (1 + sqrt(13))/2

   x = log2((1 + sqrt(13))/2)

   x ≈ 1.65

   Таким образом, решением исходного неравенства является множество всех значений x, меньших 1.65:

   x < 1.65