Question

Выведите пожалуйста формулу sin^8x+cos^8x Там должно получиться 1/8 *sin^42x-sin^22x +1

Answer 1

(sin^2x)^3+(cos^2x)^3=(sin^2x+cos^2x)((sin^2x)^2-sin^2xcos^2x+(cos^2x)^2)= ((sin^2x+cos^2x)^2-2*sin^2xcos^2x-1/4sin^22x=1--1/2sin^22x-1/4sin^22x=1-3/4sin^22x

Answer 2

Для вывода формулы, мы можем воспользоваться формулой двойного угла для функций синус и косинус:

sin^2(2x) = (sin(2x))^2 = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x)

cos^2(2x) = (cos(2x))^2 = (cos^2(x) - sin^2(x))^2 = cos^4(x) - 2cos^2(x)sin^2(x) + sin^4(x)

Затем, мы можем использовать тригонометрический тождество:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Для вывода формулы sin^8(x) + cos^8(x), мы можем воспользоваться этими формулами следующим образом:

sin^8(x) + cos^8(x) = (sin^2(x))^4 + (cos^2(x))^4 = (sin^2(x))^2 * (sin^4(x) + (cos^2(x))^2 * (cos^4(x)) = (sin^2(x))^2 * (1 - cos^2(2x))/2 * (1 + cos^2(2x))/2 + (cos^2(x))^2 * (1 + cos^2(2x))/2 * (1 - cos^2(2x))/2 (подставляем выражения для sin^2(2x) и cos^2(2x)) = (1/8) * (sin^2(x))^2 * (1 - cos^4(x)) + (1/8) * (cos^2(x))^2 * (1 - sin^4(x)) (используем тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1) = (1/8) * (sin^2(x))^2 + (1/8) * (cos^2(x))^2 - (1/8) * (sin^2(x))^2 * (cos^4(x)) - (1/8) * (cos^2(x))^2 * (sin^4(x)) = (1/8) * (sin^2(x))^2 + (1/8) * (cos^2(x))^2 - (1/8) * sin^2(x) * cos^2(x) * (sin^2(x) + cos^2(x))^2 (используем тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1) = (1/8) * (sin^2(x))^2 + (1/8) * (cos^2(x))^2 - (1/8) * sin^2(x) * cos^2(x)

Заметим, что sin^2(x) * cos^2(x) = (sin(x) * cos(x))^2 = (sin(2x)/2)^2 = (1/4) * sin^2(2x).

Подставляя этот результат в предыдущее выражение, мы получим:

sin^8(x) + cos^8(x) = (1/8) * (sin^2(x))^2 + (1/8) * (cos^2(x))^2 - (1/32) * sin^2(2x) =