Question

Бабушка решила разделить пряники между внуками поровну. Она подсчитала, что если бы пряников было на 14 больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы пряников было на 5 штук больше, то после деления поровну осталось бы два лишних пряника. Сколько у бабушки внуков?

Answer 1

Пусть у бабушки было n пряников, m внуков, тогда
n+14=xm,  х количество пряников каждому внуку 
n+5=ym+2,  у количество пряников каждому внуку 

Вычтем одно уравнение из второго:
n+14-n-5=xm-ym-2
хm-ym-2=9
m(x-y)=11, поскольку 11 простое число 11=1*11, то
х-у=1
m=11, значит у бабушки 11 внуков

Ответ 11 внуков

Answer 2

Обозначим через N количество внуков, а через X количество пряников, которые были у бабушки. Тогда можно записать два уравнения, используя данные из условия задачи:

X + 14 = a * N, где a - целое число, такое что пряники можно разделить поровну.

X + 5 = b * N + 2, где b - целое число, такое что после разделения пряников поровну остается 2 лишних.

Мы хотим найти количество внуков N, так что давайте решим эту систему уравнений:

X + 14 = a * N X + 5 = b * N + 2

Вычтем из первого уравнения второе:

9 = (a - b) * N + 12

Вычитая 12 из обеих сторон и учитывая, что N - целое число, получаем:

N = 3 / (a - b)

Так как N - целое число, то (a - b) должно делить 3. Заметим также, что a - b не может быть равно 1, так как в таком случае из первого уравнения следует, что X равно как минимум 15, что противоречит условию задачи.

Итак, мы имеем три возможных значения для (a - b): 3, -3, 1/3. Только первое из них подходит под условия задачи, так как это единственное целое число, которое делит 3.

Таким образом, a - b = 3, и мы можем выразить N из первого уравнения:

X + 14 = a * N = (b + 3) * N X + 5 = b * N + 2

Вычтем из первого уравнения второе:

9 = 3 * N

N = 3

Таким образом, у бабушки 3 внука. Проверим, что это решение подходит под оба условия задачи. Если бы у бабушки было на 14 больше пряников, то она имела бы 47 пряников, которые можно было бы разделить поровну между тремя внуками (47 / 3 = 15 целых и 2 в остатке). Если бы у нее было на 5 пряников больше, то она имела бы 44 пряника, которые можно было бы разделить поровну между тремя внуками, и осталось бы 2 лишних пряника. Поэтому наше решение верно.