Question

Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 4! = 4·3·2·1 = 24; 9! = 9·8·. . .·2·1 = 362880. Количество нулей, на которое оканчивается число 2018!, равно …

Answer 1

Нули добавляются в произведение от чисел 2 и 5.
Чисел, делящихся на 2, очень много - каждое второе.
Чисел, делящихся на 5, намного меньше.
Поэтому количество 0 равно количеству 5 в разложении числа на простые множители.
Чисел, кратных 5, от 5 до 2015, ровно 2015/5=403.
Чисел, кратных 25=5^2, от 25 до 2000, ровно 2000/25=80.
Чисел, кратных 125=5^3, от 125 до 2000, ровно 16.
Чисел, кратных 625=5^4, от 625 до 1875, всего 3.
Таким образом, количество 0 в числе 2018! равно
403+80+16+3=502.

Answer 2

Чтобы определить количество нулей, на которое оканчивается число 2018!, необходимо выяснить, сколько раз число 10 входит в это произведение. Число 10 может быть представлено в виде 2^1 * 5^1. Поскольку в факториале 2018 содержатся более чем достаточно чисел-двоек, нам нужно определить, сколько раз число 5 входит в это произведение.

Мы можем использовать деление для определения количества чисел, делящихся на 5. В 2018! есть 2018/5 = 403 числа, делящихся на 5. Однако это ещё не всё, так как некоторые числа могут иметь несколько множителей 5. Мы также должны учесть числа, которые имеют два множителя 5, числа с тремя множителями 5 и так далее.

2018/25 = 80 чисел имеют два множителя 5. 2018/125 = 16 чисел имеют три множителя 5. 2018/625 = 3 числа имеют четыре множителя 5.

Мы продолжаем этот процесс, пока результат деления не станет меньше 1. Затем мы суммируем все эти числа:

403 + 80 + 16 + 3 = 502.

Таким образом, факториал 2018! оканчивается на 502 нуля.