Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=2x³+3x²-36x на промежутке [-2;1]​

Answer 1

Найдём производную

$y'=(2x^3+3x^2-36x)'=3*2x^{3-1}+2*3x^{2-1}-36=6x^2+6x-36$

Сократим на 6 и приравняем к 0:

$x^2+x-6=0$

По теореме Виета:

$\left \{ {{x_1*x_2=-6} \atop {x_1+x_2=-1}} \right. ->\left \{ {{x_1=2} \atop {x_2=-3}} \right.$

оба  корня не входят в промежуток [-2;1]

Найдём значение функции на концах отрезка

$y(-2)=2*(-2)^3+3*(-2)^2-36*(-2)=-16+12+72=68 - max$

$y(1)=2*1^3+3*1^2-36*1=2+3-36=-31 -min$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) на промежутке [-2; 1], необходимо проанализировать её поведение на этом интервале.

1. Вычислим значения функции на концах промежутка: f(-2) = 2*(-2)³ + 3*(-2)² - 36*(-2) = -16 + 12 + 72 = 68 f(1) = 21³ + 31² - 36*1 = 2 + 3 - 36 = -31

2. Найдем критические точки функции f(x) внутри промежутка, где производная функции равна нулю: f'(x) = 6x² + 6x - 36 Приравняем производную к нулю и решим полученное квадратное уравнение: 6x² + 6x - 36 = 0 x² + x - 6 = 0 (x + 3)(x - 2) = 0 x = -3, x = 2

3. Вычислим значения функции в найденных критических точках: f(-3) = 2*(-3)³ + 3*(-3)² - 36*(-3) = -54 + 27 + 108 = 81 f(2) = 22³ + 32² - 36*2 = 16 + 12 - 72 = -44

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на промежутке [-2; 1] равно -44 и достигается в точке x = 2.