Question

Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD,причем точки A и С принадлежат прямой а, а точки В и D-прямой b. Докажите, что AB=CD.

Answer 1

Способ 1 .
Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых) - параллелограмм.
По условию АС и  ВD, АВ  и CD лежат на параллельных прямых. Следовательно, АВСD- параллелограмм.
В параллелограмме противоположные стороны равны. ⇒
АС=ВD и АВ-СD.
Способ 2.
Соединив А и D, получим треугольники АСD и ABD.
В них накрестлежащие углы при пересечении параллельных прямых а и b секущей АD равны. 
Накрестлежащие углы при параллельных прямых АВ и CD   секущей АD - равны.
Сторона AD- общая.
Треугольники АСD и ABD равны по второму признаку равенства треугольников. Их соответственные стороны равны.
 ⇒АВ=СD.

Answer 2

Для доказательства того, что AB=CD, нам понадобится использовать свойства параллельных прямых и параллельных секущих.

Во-первых, мы знаем, что параллельные прямые a и b имеют одинаковую направляющую (склон), что означает, что они никогда не пересекаются и оставаются всегда на одинаковом расстоянии друг от друга.

Во-вторых, мы знаем, что параллельные секущие AB и CD пересекают параллельные прямые a и b, соответственно. Поэтому угол между AB и CD равен углу между прямыми a и b.

Теперь рассмотрим треугольник ABC, где A и С лежат на прямой a, а B лежит на прямой b. Также рассмотрим треугольник CDB, где D лежит на прямой b, а С лежит на прямой a.

Так как AB и CD параллельны, то углы CAB и BDC равны (так как они соответственные углы). Также углы ABC и CDB равны (так как они соответственные углы). Кроме того, углы ACB и BDC также равны, так как они являются вертикальными углами.

Таким образом, треугольники ABC и CDB имеют одинаковые углы и одинаковые соотношения сторон: AB/BC=CD/DB. Так как BC=BD (по свойству параллельных прямых), то мы можем переписать это соотношение в виде AB/BD=CD/BD, что означает AB=CD.

Таким образом, мы доказали, что AB=CD, что и требовалось доказать.