Question

Дана последовательность с общим членом n/n^2+1. Рассчитайте, сколько членов последовательности лежит на отрезке 14/15 22/25 Как это решается? Плз, нужно до завтра. Спасибо.

Answer 1

Ответ:  на данном интервале не лежит  ни одного члена последовательности.

Пошаговое объяснение:

Запишем n член последовательности:

n/(n^2+1)= 1/(n+1/n)   -таким образом очевидно что с ростом n  члены последовательности убывают.

Таким образом наибольший член будет  при n=1

1/(1^2 +1)=1/2

А значит  для любого члена  an верно  что:

a(n)<=1/2

Заметим что:

an<=1/2 <22/25<14/15

Вывод :  на данном интервале не лежит  ни одного члена последовательности.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно решить неравенство:

14/15 <= n/(n^2+1) <= 22/25

Для начала, решим правую часть неравенства:

n/(n^2+1) <= 22/25

25n <= 22n^2 + 22

22n^2 - 25n + 22 >= 0

Для решения квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

a = 22, b = -25, c = 22

D = (-25)^2 - 4 * 22 * 22 = 25

Корни уравнения:

n1 = (25 + 5) / (2*22) = 5/22

n2 = (25 - 5) / (2*22) = 10/11

Таким образом, при n <= 5/22 и n >= 10/11 выполняется неравенство.

Решим теперь левую часть неравенства:

14/15 >= n/(n^2+1)

14n^2 + 15n - 14 <= 0

Для решения этого квадратного уравнения также воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

a = 14, b = 15, c = -14

D = 15^2 + 4 * 14 * 14 = 841

Корни уравнения:

n1 = (-15 - sqrt(D)) / (2*14) ≈ -1.2

n2 = (-15 + sqrt(D)) / (2*14) ≈ 0.87

Таким образом, при -1.2 <= n <= 0.87 выполняется неравенство.

Из этих двух неравенств следует, что на отрезке [14/15, 22/25] лежат все члены последовательности с номерами от 1 до около 0.87 (то есть первый, второй, третий и т.д. члены), а также все члены последовательности с номерами от около 5/22 до бесконечности. Так как последовательность является монотонно убывающей, то на отрезке [14/15, 22/25] лежит конечное число членов, а именно первые члены последовательности.

Таким образом, количество членов последовательности, лежащих на отрезке [14/15, 22/25], равно количеству целых чисел от 1 до около 0.87, то есть 0, 1, 2, ..., 9. То есть на этом отрезке находится 10 членов последовательности.