Question

Найдите наименьшее натуральное решение неравенства: -х3+ 6х2 – 8х > 0

Answer 1

-x3+6x2-8x>0
-x(x2-6x+8)>0
x(x2-6x+8)<0
x2-6x+8=0 найдем решение
D=36-4*8=4
x1,2=(6+-2)/2=2;4
получились промежутки: 
1)  (-беск;0) его не рассматриваем, т.к. не принадлежит множеству натуральных чисел
2)  (0;2) не подходит, т.к. -x3+6x2-8x<0 на этом промежутке, что не соответствует условию
3)  (2;4) условию соответствует -x3+6x2-8x>0
минимальное и единственное натеральное решение на этом промежутке точка x=3
4) (4; +беск) не рассматриваем, т.к. мин. натуральное мы нашли

Answer 2

Мы можем решить данное неравенство, используя метод интервалов знакопеременности. Для этого нужно найти корни кубического уравнения -х3+ 6х2 – 8х = 0 и проверить знак многочлена в интервалах между этими корнями.

Сначала факторизуем выражение -х3+ 6х2 – 8х = 0, вынесем общий множитель -х и получим:

-x(x2 - 6x + 8) = 0

Таким образом, корни этого уравнения равны x = 0, x = 2 и x = 4.

Теперь проверим знак выражения -х3+ 6х2 – 8х в каждом из интервалов (-∞,0), (0,2), (2,4) и (4,∞).

• В интервале (-∞,0) знак выражения -х3+ 6х2 – 8х равен -(-) + (+) + (-) = -4, то есть выражение отрицательно.
• В интервале (0,2) знак выражения -х3+ 6х2 – 8х равен -(-) + (+) + (-) = -4, то есть выражение отрицательно.
• В интервале (2,4) знак выражения -х3+ 6х2 – 8х равен -(+) + (+) + (-) = -2, то есть выражение отрицательно.
• В интервале (4,∞) знак выражения -х3+ 6х2 – 8х равен -(-) + (+) + (+) = 2, то есть выражение положительно.

Следовательно, данное неравенство выполняется для всех x из интервала (4,∞). Наименьшее натуральное решение неравенства -х3+ 6х2 – 8х > 0 равно 5, так как это наименьшее натуральное число, большее 4.