Question

Решить интеграл от 0 до π ∫sin1/2x dx

Answer 1

Π   
 ∫sin(1/2x) dx  (1)
0
Пусть: 1/2x=t, тогда
             1/2dx=dt
              dx=2dt  
Новые пределы интегрирования
при x=0 1/2*0 =t
                t=0     - подставим в (1) 
 при  x=π 1/2*π=t
                   t=π/2 - подставим в (1) 

π/2                       π/2                       π/2 
  ∫sin(1/2x) dx =  2 ∫sin(t) dt=-2cos(t) I   = -2(cos(π/2)-cos0))=-2(0-1) =2       
0                            0                            0

Answer 2

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной u = sin(x^(1/2)). Тогда du/dx = (1/2)x^(-1/2)cos(x^(1/2)), или cos(x^(1/2)) = 2u/√(1-u^2), и мы можем выразить dx через du:

dx = 2u/(cos(x^(1/2)))^2 dx = 2u/(4u^2-1) du

Теперь мы можем выразить исходный интеграл через u:

∫sin(1/2x) dx = ∫(2u/(cos(x^(1/2)))^2) dx = ∫(2u/(4u^2-1)) du

Для решения этого интеграла мы можем сделать еще одну замену переменной v = 4u^2-1. Тогда dv/du = 8u, или u = √((v+1)/4), и мы можем выразить du через dv:

du/dv = 1/(2u) = 1/(2√((v+1)/4)) = 1/(2√(v+1))/2

Теперь мы можем выразить исходный интеграл через v:

∫sin(1/2x) dx = ∫(2u/(cos(x^(1/2)))^2) dx = ∫(2u/(4u^2-1)) du = ∫(1/(2√(v+1))) dv

= ∫((v+1)^(-1/2))/2 dv = [√(v+1)]/2 + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь подставим обратно u = sin(x^(1/2)) и v = 4u^2-1:

∫sin(1/2x) dx = [√(4u^2)]/2 + C = [2sin(x^(1/2))]/2 + C = sin(x^(1/2)) + C.

Таким образом, ответ на интеграл ∫sin(1/2x) dx от 0 до π равен sin(π^(1/2)) - sin(0^(1/2)) = sin(π^(1/2)) - 0 = sin(√π).