Question

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника AB

Answer 1

Дано:

ΔABC

BE - биссектриса, AD - медиана

BE ⊥ AD

BE = AD = 16

Найти:

стороны ΔABC

Решение:

Пусть O - точка пересечения AD и BE, тогда BO - высота и биссектриса ΔABD ⇒ ΔABD - равнобедренный (AB = BD) и BO - медиана ⇒ AO = OD = 8, BC = 2AB

Заметим, что в ΔABC: EC ÷ AE = BC ÷ AB = 2 ( свойство биссектрисы BE) ⇒ EC = 2AE ⇒ AC = AE + EC = 3AE

Проведем через точку C прямую, параллельную AB, а через точку B прямую, параллельную AC, то есть достроим ΔABC до параллелограмма ABMC, где M - точка пересечения проведенных прямых, тогда точка D - пересечение диагоналей построенного параллелограмма.

Рассмотрим ΔAOE и ΔBOM, они подобны по 2-м углам ⇒ BO ÷ OE = BM ÷ AE. Учитывая, что BM = AC получаем BO ÷ OE = 3.

Пусть OE = x, тогда BO = 3x; x + 3x = 16; 4x = 16; x = 4 ⇒ OE = 4; BO = 12

по теореме Пифагора из ΔABO: AB² = 8² + 12² = 208 ⇒ AB = 4√13; BC =   8√13

по теореме Пифагора из ΔAOE: AE² = 8² + 4² = 80 ⇒ AE = 4√5 ⇒ AC = 12√5

Answer 2

Ответ:

$\tt AB=4 \cdot \sqrt{13}$ (ед)

$\tt BC=8 \cdot \sqrt{13}$ (ед.)

$\tt CA=12 \cdot \sqrt{5}$ (ед.)

Пошаговое объяснение:

Дано (см. рисунок):

 ΔABC

 BE - биссектриса

 AD - медиана

 BE⊥AD

 BE=AD=16 (ед.)  

Найти AB, BC, CA.

Решение.

  Пусть O точка пересечений биссектрисы BE и медианы AD. По условию BE⊥AD, откуда следует что BO биссектриса и высота, следовательно, треугольник ABD равнобедренный: AB=BD и BO медиана. Отсюда

  AO=OD=AD/2=16/2=8.

  Проведём DF так, чтобы DF║BE. Так как AD медиана, то BD=DC, следовательно DF средняя линия в треугольнике BEC. Отсюда, по свойству средней линии

  DF=BE/2=16/2=8.

  По построению OE║FD. Так как BO медиана, то AO=OD, следовательно OE средняя линия в треугольнике ADF. Отсюда, по свойству средней линии

  OE=DF/2=8/2=4.

  По условию BE⊥AD, что и OE⊥AD. Тогда треугольник AOE прямоугольный с гипотенузой AE. Применим теорему Пифагора:

  AE²=AO²+OE²=8²+4²=64+16=80=4²·5,

откуда $\displaystyle \tt AE=4\cdot \sqrt{5}.$

  По условию BE - биссектриса и по свойству биссектрисы

  $\displaystyle \tt \frac{EC}{AE} =\frac{BC}{AB}.$

Как отметили ранее, AB=BD=BC/2 и BD=DC, то есть BC=2·AB. Поэтому

  $\displaystyle \tt EC=\frac{AE \cdot 2 \cdot AB}{AB}=2\cdot AE=2\cdot 4\cdot \sqrt{5}=8\cdot \sqrt{5}.$

Теперь можем найти

  $\tt CA=AE+EC=4 \cdot \sqrt{5} +8 \cdot \sqrt{5}=12 \cdot \sqrt{5}$ (ед.).

  Используя OE=4 находим

  BO=BE-OE=16-4=12.

  Так как BE⊥AD, то треугольник AOB прямоугольный с гипотенузой AB. Применим теорему Пифагора:

  AB²=AO²+OB²=8²+12²=64+144=208=4²·13,

откуда

  $\displaystyle \tt AB=4\cdot \sqrt{13}$ (ед).

  Из AB=BC/2 находим:

  $\tt BC=2 \cdot AB=2 \cdot 4 \cdot \sqrt{13} =8 \cdot \sqrt{13}$ (ед.).

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся известными свойствами биссектрисы и медианы в треугольнике.

Пусть точка пересечения медианы AD и биссектрисы BE обозначается точкой O.

Так как AD является медианой, то она делит сторону BC пополам, то есть BC = 2AD = 32.

Также, так как BE является биссектрисой угла B, то она делит сторону AC на отрезки AB и BC пропорционально прилежащим сторонам угла B, то есть AB/BC = AE/EC.

Обозначим AE = x. Тогда EC = AC - AE = AB + BC - x. По условию, BE является биссектрисой угла B, поэтому AB/BC = AE/EC, что равносильно AB/(AB + BC - x) = x/(AB + x).

Раскрыв числитель и знаменатель, получим:

AB^2 + ABx = x(AB + BC - x) AB^2 + ABx = xAB + xBC - x^2 AB^2 - xAB = xBC - x^2 AB(AB - x) = x(BC - x) AB = x(BC - x)/(AB - x)

Также из условия задачи известно, что OD = OE = 16.

Треугольник AOD прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

AD^2 + OD^2 = OA^2 16^2 + 16^2 = OA^2 OA = 16*sqrt(2)

Треугольник BOE прямоугольный, поэтому также по теореме Пифагора:

BE^2 = BO^2 + OE^2 BE^2 = BO^2 + 16^2

Треугольники ABO и ABC подобны, поэтому:

AB/OA = BO/BC AB = OABO/BC = OAsqrt(BE^2 - OE^2)/BC AB = 16*sqrt(2)sqrt((16^2 + BE^2 - 16^2))/32 AB = BEsqrt(2)

Таким образом, мы нашли, что AB = BE*sqrt(2), а значит, чтобы найти сторону AB, нам нужно найти длину отрезка BE.

Заметим, что треугольник AOE прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

AE^2 + OE^2 = AO^2 x^2 + 16^2 = 16^2*2 x^2 = 16^2

Отсюда получаем, что x = 16.

Тогда AB = BEsqrt(2) = 16sqrt(2), а стороны треугольника ABC равны