Question

Решите уравнение: (sin ⁡x + cos ⁡x)² = 1+ sin ⁡x cos ⁡x

Answer 1

Sin^2x+cos^2x+2sinxcosx=1+sinxcosx


1+2sinxcosx=1+sinxcosx


sinxcosx=0

sinx=0


x=пn , n∈Z

cosx=0

x=п/2 +пn, n∈Z

x=пn/2

Answer 2

(sin ⁡x + cos ⁡x)² = 1+ sin ⁡x cos ⁡x

sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=sin^2x+cos^2x+sinxcosx

sinxcosx=0

sinx=0; x=пk, k∈Z

cosx=0; x=п/2+пk, k∈Z

Answer 3

Начнем с раскрытия квадрата в левой части уравнения:

(sin x + cos x)² = sin²x + 2sin x cos x + cos²x = 1 + sin x cos x + sin x cos x + sin²x + cos²x (здесь мы использовали тригонометрические тождества sin²x + cos²x = 1 и 2sin x cos x = sin 2x)

= 1 + 2sin x cos x

Теперь мы можем переписать исходное уравнение в виде:

1 + 2sin x cos x = 1 + sin x cos x + 1

Упрощая выражение, получаем:

sin x cos x = 0

Так как sin x cos x = 0, то это значит, что либо sin x = 0, либо cos x = 0. Решая эти уравнения, мы получаем два решения:

1. sin x = 0 => x = kπ, где k - любое целое число.
2. cos x = 0 => x = (2k + 1)π/2, где k - любое целое число.

Таким образом, уравнение (sin x + cos x)² = 1 + sin x cos x имеет бесконечное множество решений x, которые можно записать как x = kπ или x = (2k + 1)π/2, где k - любое целое число.